Question

20．如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（4，4），点E、F分别在边BC、BA上，OE=2$\sqrt{5}$．若∠EOF=45°，则F点的纵坐标是（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． 1
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{5}$-1

Answer 1

分析 如图连接EF，延长BA使得AM=CE，则△OCE≌△OAM．先证明△OFE≌△FOM，推出EF=FM=AF+AM=AF+CE，设AF=x，在Rt△EFB中利用勾股定理列出方程即可解决问题．

解答 解：如图连接EF，延长BA使得AM=CE，则△OCE≌△OAM．

∴OE=OM，∠COE=∠MOA，
∵∠EOF=45°，
∴∠COE+∠AOF=45°，
∴∠MOA+∠AOF=45°，
∴∠EOF=∠MOF，
在△OFE和△OFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OM}\\{∠FOE=∠FOM}\\{OF=OF}\end{array}\right.$，
∴△OFE≌△FOM，
∴EF=FM=AF+AM=AF+CE，设AF=x，
∵CE=$\sqrt{O{E}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-{4}^{2}}$=2，
∴EF=2+x，EB=2，FB=4-x，
∴（2+x）²=2²+（4-x）²，
∴x=$\frac{4}{3}$，
∴点F的纵坐标为$\frac{4}{3}$，
故选A．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．