Question

已知x=4是关于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+3k²=0的一个根，
（1）则k的值为

2或

2

3

；
（2）若方程两根为直角三角形的两直角边，求该直角三角形的最小角α的正切值．

Answer 1

分析：（1）将x=4代入后可得关于k的一元二次方程，解出即可得出k的值．
（2）将（1）所求的两个k值分别代入方程，然后可得出方程的两个根，根据直角三角形的两边长可得出直角三角形的最小角α的正切值．

解答：解：（1）将x=4代入得，16-4（2k+3）+3k²=0，
整理得：3k²-8k+4=0，
解得k=2或

2

3

；

（2）①当k=2时，方程为：x²-7x+12=0，
解得：x=3或4；
此时最小角α的正切值=

3

4

；
②当k=

2

3

时，方程为：x²-

13

3

x+

4

3

=0，
解得：x=4或

1

3

，
此时最小角α的正切值=

1

12

；

点评：本题考查了一元二次方程的应用及三角函数的知识，根据方程的一个根求出k的值是解答本题的关键，另外要求我们在求出直角边后能求出正切值．