Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如果BC=8，AB=5，求CE的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD．
∵OD=OB（⊙O的半径），
∴∠B=∠ODB（等边对等角）；
∵AB=AC（已知），
∴∠B=∠C（等边对等角）；
∴∠C=∠ODB（等量代换），
∴OD∥AC（同位角相等，两直线平行），
∴∠ODE=∠DEC（两直线平行，内错角相等）；
∵DE⊥AC（已知），
∴∠DEC=90°，
∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）；
∴AD⊥CD；
在Rt△ACD和Rt△DCE中，
∠C=∠C（公共角），
∠CED=∠CDA=90°，
∴Rt△ACD∽Rt△DCE（AA），
∴=；
又由（1）知，OD∥AC，O是AB的中点，
∴OD是三角形ABC的中位线，
∴CD=BC；
∵BC=8，AB=5，AB=AC，
∴CE=．
分析：（1）连接OD，只要证明OD⊥DE即可；
（2）连接AD构造直角三角形ACD，根据相似三角形的判定定理AA判定Rt△ACD∽Rt△DCE，然后由相似三角形的对应边成比例得，=；最后根据三角形中位线的判定与性质求得CD的长度，从而求得CE的长．
点评：本题综合考查了切线的判定与性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的判定与性质．解答（2）时，还可以利用射影定理来求CE的长度．