Question

9．如图，为了保护运河入江口的古桥OA，规划建一座新桥BC，已知，古桥OA与河岸OC垂足，新桥BC与河岸AB垂直，且BC=AB，OC=210m，tan∠BCO=$\frac{4}{3}$．
（1）分别求古桥OA与新桥BC的长；
（2）根据规划，建新桥的同时，将对古桥设立一个保护区，要求：
保护区的边界为与BC相切的圆，且圆心M在线段OA上；
古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离不少于140m，设圆形保护区半径为R．OM=xm．
①试求半径R与x的关系式；
②试探究：当x多长时，圆形保护区的面积最大？并求出最大面积时R的值．

Answer 1

分析 （1）利用正切的比设出BH=4x，CH=3x，则BC=5x，作辅助线构建直角三角形证△ABG≌△BCH，利用等量关系列方程求出x的值，从而求出古桥OA与新桥BC的长；
（2）过M作MN⊥BC，构建直角△BNP，证明Rt△BHC∽Rt△BNP，得比例式表示出PN和半径R的长，根据已知古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离不少于140m和三角形的三边关系得出不等式组，求出x的取值，最后得出结论．

解答 解：（1）如图1，过B作BH⊥OC，垂足为H，
由tan∠BCO=$\frac{4}{3}$，设BH=4x，则CH=3x，BC=5x，
又∵AB⊥BC知，即∠ABH+∠CBH=90°，
又∠BCH+∠CBH=90°，
∴∠ABH=∠BCH，
再过A作AG⊥BH，垂足为G，则∠AGB=∠BHC=90°，
∵AB=BC，
∴△ABG≌△BCH（AAS），
∴BG=CH=3x，AG=BH=4x，
则OH=4x，OA=HG=x，
又OC=210m，即7x=210，x=30，
5x=150，
故古桥OA的长为30m，新桥BC的长的长为150m；

（2）如图2所示，因为OM=xm，故AM=（30-x）m，
过M作MN⊥BC，分别交BC、BH于N、P，
则MN即为保护区半径R，且MP=AB=150，BP=MA=30-x
Rt△BHC∽Rt△BNP，$\frac{PN}{BP}=\frac{CH}{BC}$，则$\frac{PN}{30-x}=\frac{3×30}{5×30}$，PN=18-$\frac{3}{5}$x
①半径R=MN=MP+PN=150+18-$\frac{3}{5}$x=168-$\frac{3}{5}$x
即R=160-$\frac{3}{5}$x（0≤x≤30）
②由题意得：R-OM≥140，即（168-$\frac{3}{5}$x）-x≥140，解得x≤$\frac{35}{2}$
又R-AM≥140，即（168-$\frac{3}{5}$x）-（30-x）≥140，解得x≥5
故有：5≤x≤$\frac{35}{2}$
因为，要使圆面积最大，其半径R最大，而R最大也就是x要取最小值，
故当x=5时，圆面积最大，此时半径为R的值为165m．

点评 此题属于圆的综合题，涉及了全等三角形和相似三角形的判定与性质、三角函数值的知识、不等式组的应用及最大值的求法，综合性较强；有几点技巧需同学们掌握：①利用条件中的三角函数值能求角的度数或利用比值表示边的长；②求极值时也可以利用三边关系列不等式求解．