Question

已知：在四边形ABCD中，AC = BD，AC与BD交于点O，∠DOC = 60°.

（1）当四边形ABCD是平行四边形时（如图1），证明AB + CD = AC；
（2）当四边形ABCD是梯形时（如图2），AB∥CD，线段AB、CD和线段AC之间的数量关系是_____________________________；
（3）如图3，四边形ABCD中，AB与CD不平行，结论AB + CD = AC是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由.

Answer 1

（1）见解析（2）AB+CD=AC（3）不成立，应为AB+CD＞AC

（1）在?ABCD中，∵AC=BD
∴?ABCD为矩形
又∵∠DOC=60°，
∴∠AOB=60°，
又OA=OB=OC=OD，
∴AB=CD=OA=OC．
即AB+CD=AC；（3分）
（2）AB+CD=AC；
∵∠DOC=60°，
∴∠AOB=60°，
∵AC=BD，
∴△AOB，△DOC都是正三角形，
∴OA=OB=AB，OD=OC=DC
即AB+CD=AO+C0=AC；（3分）
（3）不成立，应为AB+CD＞AC．
如图所示过B作BM∥AC，过C作CM∥AB，
则四边形ABMC为平行四边形，
∴CM=AB，BM=AC=BD，BM∥AC，
又∵∠DOC=60°，
∴∠DBM=∠DOC=60°
即三角形DBM为等边三角形，
∴BM=AC=DM
在△CDM中，CM+CD＞DM，
即AB+CD＞AC．（4分）
（1）当四边形ABCD为平行四边形时，由于AC=BD，所以平行四边形ABCD实际为矩形，若∠DOC=60°时，三角形ABO和三角形DOC均为等边三角形，所以会有AB+CD=AC；
（2）当四边形ABCD为等腰梯形时，三角形ABO和三角形CDO也是等边三角形，所以会有AB+CD=AC；
（3）不成立，过B作BM∥AC，过C作CM∥AB，连接DM．构建平行四边形后AB=CM，BM=AC=BD，由于∠DOC=60°，可知∠DBM=60°，即三角形BDM为等边三角形，所以BD=BM=DM=AC，在三角形DCM中，CM+CD＞AC，即AB+CD＞AC．