Question

8．如图，两个等腰直角三角形ABC、CDE，顶点C重合，点B、C、E共线，F是AE的中点，连BF、DF，求证：BF=DF且BF⊥DF．

Answer 1

分析 根据直线三角形斜边上中线得出BF=DF，BF=AF，DF=AF，求出∠BFE=∠FBA+∠FAB=2∠FAB，∠DFE=2∠DAF，即可得出答案．

解答 证明：∵△ABC和△DEC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∵在Rt△ABE和Rt△ADE中，∠ABC=∠CDE=90°，F为AE的中点，
∴BF=$\frac{1}{2}$AE，DF=$\frac{1}{2}$AE，
∴BF=DF；
∵BF=$\frac{1}{2}$AE，F为AE的中点，
∴BF=AF，
∴∠FBA=∠FAB，
∴∠BFE=∠FBA+∠FAB=2∠FAB，
同理∠DFE=2∠DAF，
∴∠BFD=∠BFE-∠DFE=2∠FAB-2∠FAD=2∠BAC=90°，
即BF⊥DF．

点评 本题考查了三角形外角性质，直角三角形斜边上中线性质，等腰直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．