Question

如图，在△ABC中，M是BC的中点，E，F分别在AC，AB上，且ME⊥MF．求证：EF＜BF+CE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,三角形三边关系,等腰三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：延长EM至G，使MG=EM，连接BG、FG，就可以得出△GMB≌△EMC，就有GB=CE，由中垂线的性质就可以得出FG=EF，根据三角形的三边关系两边之和大于第三边就可以得出结论．

解答：证明：延长EM至G，使MG=EM，连结BG、FG，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM．
在△GMB和△EMC中，

BM=CM ∠BMG=∠CME GM=EM

，
∴△GMB≌△EMC（SAS），
∴BG=CE．
∵FM⊥ME，MG=EM，
∴GF=EF．
∵BF+BG＞FG，
∴BF+CE＞EF，
即EF＜BF+CE．

点评：本题考查了垂直平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形三边关系任意两边之和大于第三边的数量关系的运用．