Question

【题目】已知和都是等腰直角角三角角形；，点是直线上的一动点(点不与、重合)，连接．

（1）在图1中，当点在边上时，求证：①；② ；

（2）在图2中，当点在边的廷长线上时，结论①是否还成立？若不成立，请直接写出之间存在的数量关系，不必说明理由．

（3）在图3中当点在边的反向延长线上时，补全图形，不写证明过程，直接写出之间存在的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）CE＝BC＋CD，理由见解析（3）CD＝BC＋EC，理由见解析

【解析】

（1）只要证明△ABD≌△ACE（SAS），可得BD＝CE，即可推出BC＝BD＋CD＝EC＋CD，再得到∠ECD=90即可求解；

（2）不成立，存在的数量关系为CE＝BC＋CD，利用全等三角形的性质即可证明；

（3）根据题意补全图形，同（1）可证明△ABD≌△ACE即可求解．

（1）∵AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝45，AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝45，

∴∠BAC＝∠DAE＝90，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD＝CE，

∴BC＝BD＋CD＝CE＋CD；

∴∠ACE＝∠ABD＝45

∴∠ECD=∠ACE +∠ACB =90

∴

（2）不成立，存在的数量关系为CE＝BC＋CD．

理由：由（1）同理可得，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD＝CE，

∴BD＝BC＋CD，

∴CE＝BC＋CD；

（3）如图3，结论：CD＝BC＋EC．

依题意补全图形，

理由：由（1）同理可得，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD＝CE，

∴CD＝BC＋BD＝BC＋CE．