Question

如图，已知抛物线图象经过A（-1，0），B（4，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若C（m，m-1）是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过点D分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F．
①求证：四边形DECF是矩形；
②连结EF，线段EF的长是否存在最小值？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)；（2）①证明见解析；②2.

解析试题分析：（1）根据待定系数法即可求得；
（2）把C（m，m-1）代入求得点C的坐标，从而求得AH=4，CH=2，BH=1，AB=5，然后根据，∠AHC=∠BHC=90°得出△AHC∽△CHB，根据相似三角形的对应角相等求得∠ACH=∠CBH，因为∠CBH+∠BCH=90°所以∠ACH+∠BCH=90°从而求得∠ACB=90°，先根据有两组对边平行的四边形是平行四边形求得四边形DECF是平行四边形，进而求得DECF是矩形；
（3）根据矩形的对角线相等，求得EF=CD，因为当CD⊥AB时，CD的值最小，此时CD的值为2，所以EF的最小值是2；
试题解析：（1）∵抛物线图象经过A（-1，0），B（4，0）两点，
∴根据题意，得，解得，
所以抛物线的解析式为：；
（2）①证明：∵把C（m，m-1）代入得
∴，
解得：m=3或m=-2，
∵C（m，m-1）位于第一象限，
∴，
∴m＞1，
∴m=-2舍去，
∴m=3，
∴点C坐标为（3，2），
由A（-1，0）、B（3，0）、C（3，2）得  AH=4，CH=2，BH=1，AB=5
过C点作CH⊥AB，垂足为H，则∠AHC=∠BHC=90°，
∵，∠AHC=∠BHC=90°
∴△AHC∽△CHB，
∴∠ACH=∠CBH，
∵∠CBH+∠BCH=90°
∴∠ACH+∠BCH=90°
∴∠ACB=90°，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴DECF是矩形；
②存在；
连接CD
∵四边形DECF是矩形，
∴EF=CD，
当CD⊥AB时，CD的值最小，
∵C（3，2），
∴DC的最小值是2，
∴EF的最小值是2；

考点：二次函数综合题．