Question

10．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD是⊙O的切线，CD交AB的延长线于点D，OE∥AC交BC于点F，交DC于点E．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC=8，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）连结OC，如图，先利用切线的性质得∠OCD=90°，再证明∠2=∠3，则可根据“SAS”判断△OCE≌△OBE，则∠OBE=∠OCE=90°，然后根据切线的判定定理可得到结论；
（2）先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则利用勾股定理可计算出BC=6，再证明△ACB∽△OBE，然后利用相似可计算出BE．

解答 （1）证明：连结OC，如图，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OC，
∴∠OCD=90°，
∵OE∥AC，
∴∠1=∠2，∠A=∠3，
∵OA=OC，
∴∠1=∠A，
∴∠2=∠3，
在△OCE和△OBE中
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OE}\\{∠2=∠3}\\{OC=OB}\end{array}\right.$，
∴△OCE≌△OBE，
∴∠OBE=∠OCE=90°，
∴OB⊥BE，
∴BE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，∵AB=10，AC=8，
∵BC=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∵∠A=∠3，∠BCA=∠EBO，
∴△ACB∽△OBE，
∴BC：BE=AC：OB，即6：BE=8：5，
∴BE=$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查了切线的判断与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．常见的辅助线为：判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； 有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．解决（2）小题的关键是证明△ACB∽△OBE，利用相似比求BE．