Question

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论：
①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，
其中正确的序号是

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：如解答图所示：
结论①正确：证明△ACM≌△ABF即可；
结论②正确：由△ACM≌△ABF得∠2=∠4，进而得∠4+∠6=90°，即CE⊥AF；
结论③正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等；
结论④正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等．

解答：解：（1）结论①正确．理由如下：
∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°，
∴∠6=∠CMN，又∵∠5=∠CMN，
∴∠5=∠6，
∴AM=AE=BF．
易知ADCN为正方形，△ABC为等腰直角三角形，∴AB=AC．
在△ACM与△ABF中，

AC=AB ∠CAM=∠B=45° AM=BF

，
∴△ACM≌△ABF（SAS），
∴CM=AF；

（2）结论②正确．理由如下：
∵△ACM≌△ABF，
∴∠2=∠4，
∵∠2+∠6=90°，
∴∠4+∠6=90°，
∴CE⊥AF；

（3）结论③正确．理由如下：
证法一：∵CE⊥AF，
∴∠ADC+∠AGC=180°，
∴A、D、C、G四点共圆，
∴∠7=∠2，
∵∠2=∠4，
∴∠7=∠4，
又∵∠DAH=∠B=45°，
∴△ABF∽△DAH；
证法二：∵CE⊥AF，∠1=∠2，
∴△ACF为等腰三角形，AC=CF，点G为AF中点．
在Rt△ANF中，点G为斜边AF中点，
∴NG=AG，
∴∠MNG=∠3，
∴∠DAG=∠CNG．
在△ADG与△NCG中，

AD=CN ∠DAG=∠CNG AG=NG

，
∴△ADG≌△NCG（SAS），
∴∠7=∠1，
又∵∠1=∠2=∠4，
∴∠7=∠4，
又∵∠DAH=∠B=45°，
∴△ABF∽△DAH；

（4）结论④正确．理由如下：
证法一：∵A、D、C、G四点共圆，
∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°，
∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC．
证法二：∵AM=AE，CE⊥AF，
∴∠3=∠4，又∠2=∠4，∴∠3=∠2
则∠CGN=180°-∠1-90°-∠MNG=180°-∠1-90°-∠3=90°-∠1-∠2=45°．
∵△ADG≌△NCG，
∴∠DGA=∠CGN=45°=

1

2

∠AGC，
∴GD平分∠AGC．
综上所述，正确的结论是：①②③④，共4个．
故答案为：①②③④．

点评：本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、正方形、等腰直角三角形、直角梯形、等腰三角形等知识点，有一定的难度．解答中四点共圆的证法，仅供同学们参考．