Question

【题目】如图，在中，∠A=90°，是的中点，过点的直线、交直线、于点、，且，连接．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，若，，，请直接写出线段的长度．（不必写过程）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）如图1中，延长ED到H，使得ED=DH，连接FH，CH．想办法证明EF=FH，CH=BE，∠FCH=90°即可解决问题；
（2）如图2中，延长ED到H，使得ED=DH，连接FH，CH．作DK⊥AC于K．，设AC交DH于点O．想办法求出CH的长，利用（1）中结论即可解决问题；

解：（1）如图1中，延长ED到H，使得ED=DH，连接FH，CH．

∵BD=DC，DE=DH，∠BDE=∠CDH，
∴△BDE≌△CDH（SAS），
∴BE=CH，∠B=∠DCH，
∵∠A=90°，
∴∠ACB+∠B=∠ACB+∠DCH=90°，
∴∠FCH=90°，
∴FH2=FC2+CH2=FC2+BE2，
∵FD⊥EH，DE=DH，
∴EF=FH，
∴EF2=BE2+CF2；

（2）如图2中，延长ED到H，使得ED=DH，连接FH，CH．作DK⊥AC于K．，设AC交DH于点O．

同(1)的方法易证△BDE≌△CDH（SAS），∠FCH=90°，DK∥CH，
∴BE=CH，可得EF2=BE2+CF2，
∵∠A=90°，AB=6，∠ACB=30°，

∴BC=12
∴AC= ,

∵AF=，
∴CF=5,

∵BD=DC，DK∥AB，
∴AK=KC=3,FK=2,DK=AB=3，

∴DF=,

∵OD⊥DF，DK⊥OF，
∴，，
∴OK=，

∴OC==，

∴OC= OK，

∵DK∥CH，

∴∠ODK=∠OHC，∠OKD=∠OCH，

∴△OHC≌△ODK，

∴CH= DK =3，
∴EF=,