解:(1)点Q为直线BD上的点,PQ为直径,⊙O与直线BD的位置关系只可能是:相切、相交;
(2)当P点在BC上时,PQ⊥BD,⊙O与直线BD相切,
△BQP为等腰直角三角形,
BQ=PB,即
×
t=5-3t,
解得t
1=1,
当P点在AB上时,PQ⊥BD,⊙O与直线BD相切,
△BQP为等腰直角三角形,
BQ=PB,即
×
t=3t-5,
解得t
2=5(舍去),
当P点在AD上时,PQ⊥BD,⊙O与直线BD相切,
△BQP为等腰直角三角形,
BQ=PB,即2t=15-3t,
t
3=5(舍去);
故t=1时,⊙O与直线BD相切.
(3)存在,由(2)可知,(a+2)t=5,或者(a-2)t=5,
且t<5,故a≥4且a为正整数,t
1=
,t
2=
.
分析:(1)因为直径PQ与直线BD有一个交点,直线与圆不可能相离;
(2)运动过程中,已知∠PBQ=45°,直线与圆相切时,PQ⊥BD,围绕等腰直角三角形的两边关系,建立方程求解;
(3)根据题目的限制条件t<5,根据(2)得出一般结论,再根据限制条件求a的范围.
点评:本题考查了运动过程中,满足条件时,△BPQ始终是等腰直角三角形这一条件.