Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别交x 轴、y轴于C、A两点，将射线AM绕着点A顺时针旋转45°得到射线AN，点D为AM上的动点，点B为AN上的动点，点C在∠MAN的内部。

（1）求线段AC的长；
（2）当AM∥x轴，且四边形ABCD为梯形时，求△BCD的面积；
（3）求△BCD周长的最小值；
（4）当△BCD的周长取得最小值，且BD=时，△BCD的面积为____。
（第（4）问只需填写结论，不要求书写过程）

Answer 1

解：（1）∵直线y=-与x轴、y轴分别交于C、A两点， ∴点C的坐标为，点A的坐标为（0，2） ∴AC=4； （2）如图1，当AD∥BC时，依题意，可知∠DAB=45°， ∴∠ABO=45°， ∴OB=OA=2， ∵OC=， ∴BC=-2， ∴S△BCD=， 如图2，当AB∥DC时， 可得S△BCD=S△ACD， 设射线AN交x轴于点E， ∵AD∥x轴， ∴四边形AECD为平行四边形， ∴S△AEC=S△ACD， ∴S△BCD=S△AEC=， 综上所述，当AM∥x轴，且四边形ABCD为梯形时， S△BCD=； （3）如图3，作点C关于射线AM的对称点C1，点C关于射线AN的对称点C2， 由轴对称的性质，可知CD=C1D，CB=C2B， ∴C2B+BD+C1D=CB+BD+CD， 连结AC1、AC2， 可得∠C1AD=∠CAD，∠C2AB=∠CAB，AC1=AC2=AC=4， ∵∠DAB=45°， ∴∠C1AC2=90°， 连结C1C2， ∵两点之间线段最短， ∴当B、D两点与C1、C2在同一条直线上时， △BCD的周长最小，最小值为线段C1C2的长， ∴△BCD的周长的最小值为； （4）。