Question

如图，已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过原点O和x轴上的另一点A，它的对称轴直线x=2与x轴交于点C，直线y=2x+1经过抛物线上一点B（-2，m），且与y轴、直线x=2分别交于D、E．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求证：D是BE的中点；
（3）若点P（x、y）是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的点P，使得△PBE是以PE为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）解：∵点B（-2，m）在直线y=2x+1上，
∴2×（-2）+1=m，
解得m=-3，
∴B（-2，-3），
∵二次函数y=ax²+bx+c的图象经过原点O和x轴上的另一点A，它的对称轴直线x=2，
∴A（4，0），
∵二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点O、A、B，
∴，
解得，
∴二次函数解析式为：y=-x²+x；

（2）证明：∵直线y=2x+1与y轴、直线x=2分别交于D、E，
∴x=0时，y=1，
x=2时，y=2×2+1=5，
∴点D、E的坐标分别为：D（0，1）、E（2，5），
∴BD==2，DE==2，
∴BD=DE，
即D是BE的中点；

（3）解：抛物线的对称轴上存在这样的点P，使得△PBE是以PE为腰的等腰三角形．
①当PE=BE时，根据（2）的结论，PE=BD+DE=2+2=4，
所以点P（2，5+4）或 P（2，5-4），
②当PE=PB时，设点P坐标为（2，n），
则PB==，
PE=|n-5|，
所以=|n-5|，
两边平方得，16+9+6n+n²=n²-10n+25，
解得n=0，
所以点P的坐标为P（2，0）．
分析：（1）把点B的坐标代入直线y=2x+1求出m的值，从而得到点B的坐标，再根据抛物线的对称性求出点A的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）令x=0，x=2求出点D、E的坐标，再根据两点之间的距离公式列式求出BD、DE的长度即可得证；
（3）因为腰不明确，所以分①PE=BE，根据BE的长度，分点P在点E的上方与下方两种情况写出，②PE=PB，设点P的坐标为（2，n）根据两点间的距离公式列式求出n的值为0，从而最后得解．
点评：本题是对二次函数的综合考查，有待定系数法求二次函数解析式，两点间的距离公式，以及等腰三角形的两腰相等，熟练运用两点间的距离公式是解题的关键．