(1)解:∵点B(-2,m)在直线y=2x+1上,
∴2×(-2)+1=m,
解得m=-3,
∴B(-2,-3),
∵二次函数y=ax
2+bx+c的图象经过原点O和x轴上的另一点A,它的对称轴直线x=2,
∴A(4,0),
∵二次函数y=ax
2+bx+c的图象经过点O、A、B,
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/382787.png)
,
解得
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/382788.png)
,
∴二次函数解析式为:y=-
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/96.png)
x
2+x;
(2)证明:∵直线y=2x+1与y轴、直线x=2分别交于D、E,
∴x=0时,y=1,
x=2时,y=2×2+1=5,
∴点D、E的坐标分别为:D(0,1)、E(2,5),
∴BD=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/382789.png)
=2
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/559.png)
,DE=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/382790.png)
=2
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/559.png)
,
∴BD=DE,
即D是BE的中点;
(3)解:抛物线的对称轴上存在这样的点P,使得△PBE是以PE为腰的等腰三角形.
①当PE=BE时,根据(2)的结论,PE=BD+DE=2
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/559.png)
+2
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/559.png)
=4
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/559.png)
,
所以点P(2,5+4
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/559.png)
)或 P(2,5-4
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/559.png)
),
②当PE=PB时,设点P坐标为(2,n),
则PB=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/382791.png)
=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/382792.png)
,
PE=|n-5|,
所以
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/382792.png)
=|n-5|,
两边平方得,16+9+6n+n
2=n
2-10n+25,
解得n=0,
所以点P的坐标为P(2,0).
分析:(1)把点B的坐标代入直线y=2x+1求出m的值,从而得到点B的坐标,再根据抛物线的对称性求出点A的坐标,然后利用待定系数法求二次函数解析式即可;
(2)令x=0,x=2求出点D、E的坐标,再根据两点之间的距离公式列式求出BD、DE的长度即可得证;
(3)因为腰不明确,所以分①PE=BE,根据BE的长度,分点P在点E的上方与下方两种情况写出,②PE=PB,设点P的坐标为(2,n)根据两点间的距离公式列式求出n的值为0,从而最后得解.
点评:本题是对二次函数的综合考查,有待定系数法求二次函数解析式,两点间的距离公式,以及等腰三角形的两腰相等,熟练运用两点间的距离公式是解题的关键.