Question

14．【问题引入】
已知：如图BE、CF是△ABC的中线，BE、CF相交于G．求证：$\frac{GE}{GB}$=$\frac{GF}{GC}$=$\frac{1}{2}$
证明：连结EF
∵E、F分别是AC、AB的中点
∴EF∥BC且EF=$\frac{1}{2}$BC
∴$\frac{GE}{GB}$=$\frac{GF}{GC}$=$\frac{EF}{BC}$=$\frac{1}{2}$
【思考解答】
（1）连结AG并延长AG交BC于H，点H是否为BC中点是（填“是”或“不是”）
（2）①如果M、N分别是GB、GC的中点，则四边形EFMN 是平行四边形．
②当$\frac{AB}{AC}$的值为1时，四边形EFMN 是矩形．
③当$\frac{AH}{BC}$的值为$\frac{3}{2}$时，四边形EFMN 是菱形．
④如果AB=AC，且AB=10，BC=16，则四边形EFMN的面积S=16．

Answer 1

分析 （1）连结EF，交AG于O，根据三角形中位线定理以及平行线分线段成比例定理，即可得出BH=CH，即点H是BC中点；
（2）①根据三角形中位线定理可得，EF∥MN，EF=MN，进而得出四边形EFMN是平行四边形；
②当四边形EFMN是矩形时，可得AH垂直平分BC，进而得出AB=AC，即$\frac{AB}{AC}$的值为1；
③当四边形EFMN是菱形时，MN=FM，根据三角形中位线定理以及重心性质，可得3BC=2AH，即可得出$\frac{AH}{BC}$的值为$\frac{3}{2}$；
④当AB=AC时，由②可得四边形EFMN是矩形，AH⊥BC，再根据三角形中位线定理，可得MN=$\frac{1}{2}$BC=8，FM=$\frac{1}{2}$AG=$\frac{1}{3}$AH=2，进而得到矩形EFMN的面积S=FM×MN=16．

解答 解：（1）如图，连结EF，交AG于O，
∵E、F分别是AC、AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC且EF=$\frac{1}{2}$BC，
∴$\frac{GE}{GB}$=$\frac{GF}{GC}$=$\frac{EF}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∵OE∥BH，
∴$\frac{OE}{BH}$=$\frac{GE}{GB}$=$\frac{1}{2}$，
∵OE∥CH，
∴$\frac{OE}{CH}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OE}{BH}$=$\frac{OE}{CH}$，
∴BH=CH，即点H是BC中点；
故答案为：是； 

 （2）①∵M、N分别是GB、GC的中点，
∴MN是△GBC的中位线，
∴MN∥BC且MN=$\frac{1}{2}$BC，
由（1）可得，EF∥BC且EF=$\frac{1}{2}$BC，
∴EF∥MN，EF=MN，
∴四边形EFMN是平行四边形，
故答案为：平行；   

②当四边形EFMN是矩形时，FG=EG，
∵$\frac{GE}{GB}$=$\frac{GF}{GC}$=$\frac{1}{2}$，
∴GB=GC，
∴∠GBC=∠GCB，
又∵H是BC的中点，
∴GH⊥BC，即AH⊥BC，
∴AH垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴$\frac{AB}{AC}$的值为1，
故答案为：1；   

③当四边形EFMN是菱形时，MN=FM，
∵MN是△BCG的中位线，
∴MN=$\frac{1}{2}$BC，
∵FM是△ABG的中位线，
∴FM=$\frac{1}{2}$AG，
又∵G是△ABC的重心，
∴AG=$\frac{2}{3}$AH，
∴FM=$\frac{1}{2}$AG=$\frac{1}{3}$AH，
∴$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{3}$AH，即3BC=2AH，
∴$\frac{AH}{BC}$的值为$\frac{3}{2}$，
故答案为：$\frac{3}{2}$；

④当AB=AC时，由②可得四边形EFMN是矩形，AH⊥BC，
∵AB=10，BC=16，
∴BH=$\frac{1}{2}$BC=8，AH=6，
∵MN是△BCG的中位线，
∴MN=$\frac{1}{2}$BC=8，
∵FM是△ABG的中位线，
∴FM=$\frac{1}{2}$AG=$\frac{1}{3}$AH=2，
∴矩形EFMN的面积S=FM×MN=2×8=16，
故答案为：16．

点评 本题属于相似形综合题，主要考查了三角形重心性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理的综合应用，解决问题的关键是掌握：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．