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如图,在平面直角坐标系中,直线l:交y轴于点A.抛物线的图象过点E(-1,0),并与直线l相交于A、B两点.

⑴ 求抛物线的解析式;
⑵ 设点P是抛物线的对称轴上的一个动点,当△PAE的周长最小时,求点P的坐标;
⑶ 在x轴上是否存在点M,使得△MAB是直角三角形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)抛物线的解析式是:
(2)P点坐标为(
(3)在x轴上存在点M,使得△MAB是直角三角形,满足条件的点M的坐标是:M1(-,0),M2(,0),M3(,0),M4(,0)

试题分析:⑴ 直线l:交y轴于点A(0,2),
∵A(0,2)、E(-1,0)是抛物线上的点,
,解得
∴抛物线的解析式是:
⑵ ∵=,∴对称轴为x=
点E(-1,0)关于x=的对称点为F(4,0).

如图⑴所示,联结AF,与对称轴x=的交点即为所求P点,由于E、F两点关于对称轴对称,则此时△PAE的周长=PA+PE+AE
=" PA+PF+AE=" AF+AE最小.
设直线AF的解析式为y=kx+2,
把F(4,0)代入,可得4k+2=0,解得k=-
∴直线AF解析式为y=-x+2.
当x=时,y=,∴P点坐标为().
⑶ 设在x轴上存在点M,使得△MAB是直角三角形,
① 若∠BAM=900,此时点M应在x轴的负半轴上,如图⑵,
设直线l:交x轴于点C,令y=0,得x=6,∴C(6,0).
由AM1⊥AB,OA⊥OC,可证△AOC∽△M1OA,

∵AO=2,OC=6,∴
∴OM1=,∴M1(-,0).
② 若∠ABM=90°,此时点M应在x轴的正半轴上,如图⑵,

∵点B是直线和抛物线的交点,
,解得,或(舍)
∴B().
解法一:设M(m,0),过点B作BD⊥x轴于点D,则有△BDM∽△CDB,
 .
∵BD=,M2D=-m,CD=6-=
,解得m=,∴M2(,0).
解法二:过点B作BD⊥x轴于点D,
∵BM2∥AM1, ∴∠BM2D=∠AM1O,
∵tan∠AM1O==3,
∴tan∠BM2D==3,
∴M2D=.∴OM2=OD-M2D==
∴M2(,0).
③ 若∠AMB=90°,则点M是以AB为直径的圆与x轴的交点,此时点M应在x轴的正半轴上,如图⑶,
设M(t,0),过点B作BD⊥x轴于点D,则有△AOM∽△MDB,


∵AO=2,MD=-t,OM=t,BD=
,解得
∴M3(,0),M4(,0).
综上所述,在x轴上存在点M,使得△MAB是直角三角形,满足条件的点M的坐标是:M1(-,0),M2(,0),M3(,0),M4(,0).
点评:考查函数性质与坐标关系,探究点的存在性问题,几何图形形式问题和直角三角形性质综合,中考常见压轴题目种类,难度较大。
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