试题分析:⑴ 直线l:
交y轴于点A(0,2),
∵A(0,2)、E(-1,0)是抛物线
上的点,
∴
,解得
.
∴抛物线的解析式是:
.
⑵ ∵
=
,∴对称轴为x=
,
点E(-1,0)关于x=
的对称点为F(4,0).
如图⑴所示,联结AF,与对称轴x=
的交点即为所求P点,由于E、F两点关于对称轴对称,则此时△PAE的周长=PA+PE+AE
=" PA+PF+AE=" AF+AE最小.
设直线AF的解析式为y=kx+2,
把F(4,0)代入,可得4k+2=0,解得k=-
,
∴直线AF解析式为y=-
x+2.
当x=
时,y=
,∴P点坐标为(
,
).
⑶ 设在x轴上存在点M,使得△MAB是直角三角形,
① 若∠BAM=90
0,此时点M应在x轴的负半轴上,如图⑵,
设直线l:
交x轴于点C,令y=0,得x=6,∴C(6,0).
由AM
1⊥AB,OA⊥OC,可证△AOC∽△M
1OA,
∴
.
∵AO=2,OC=6,∴
,
∴OM
1=
,∴M
1(-
,0).
② 若∠ABM=90°,此时点M应在x轴的正半轴上,如图⑵,
∵点B是直线
和抛物线
的交点,
∴
,解得
,或
(舍)
∴B(
,
).
解法一:设M(m,0),过点B作BD⊥x轴于点D,则有△BDM∽△CDB,
∴
.
∵BD=
,M
2D=
-m,CD=6-
=
,
∴
,解得m=
,∴M
2(
,0).
解法二:过点B作BD⊥x轴于点D,
∵BM
2∥AM
1, ∴∠BM
2D=∠AM
1O,
∵tan∠AM
1O=
=3,
∴tan∠BM
2D=
=
=3,
∴M
2D=
.∴OM
2=OD-M
2D=
-
=
,
∴M
2(
,0).
③ 若∠AMB=90°,则点M是以AB为直径的圆与x轴的交点,此时点M应在x轴的正半轴上,如图⑶,
设M(t,0),过点B作BD⊥x轴于点D,则有△AOM∽△MDB,
∴
.
∵AO=2,MD=
-t,OM=t,BD=
,
∴
,解得
,
∴M
3(
,0),M
4(
,0).
综上所述,在x轴上存在点M,使得△MAB是直角三角形,满足条件的点M的坐标是:M
1(-
,0),M
2(
,0),M
3(
,0),M
4(
,0).
点评:考查函数性质与坐标关系,探究点的存在性问题,几何图形形式问题和直角三角形性质综合,中考常见压轴题目种类,难度较大。