Question

2．△ABC为等边三角形，G，H分别从C，A出发，以等速沿CA，AB运动，连CH，BG交于F．
（1）求∠BFH；
（2）当CF=2BF时，证明：BC⊥BG．

Answer 1

分析 （1）利用△ABC为等边三角形，G，H分别从C，A出发，以等速沿CA，AB运动，证明△CBH≌△GBA（SAS），得到∠HCB=∠GBA，再利用对顶角相等证明∠HCB=∠HBF，根据∠BFH=∠HCB+∠CBF，即可解答；
（2）（2）如图，在FG上取一点E使BE=BF，连接CE，证明△CFE为等边三角形，利用等边三角形的性质即可得到CB⊥FG．

解答 解：（1）∵G，H分别从C，A出发，以等速沿CA，AB运动，
∴CG=AH，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=AB，∠ABC=∠BAC=60°，
∴CG-AC=AH-AB，即AG=BH，
∠CBH=180°-∠ABC=120°，∠BAG=180°-∠BAC=120°，
∴∠CBH=∠BAG，
在△CBH和△GBA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BH=AG}\\{∠CBH=∠GAB}\\{CB=BA}\end{array}\right.$
∴△CBH≌△GBA（SAS），
∴∠HCB=∠GBA，
∵∠GBA=∠HBF，
∴∠HCB=∠HBF，
∵∠BFH=∠HCB+∠CBF，
∴∠BFH=∠HBF+∠CBF=∠CBH=120°．
（2）如图，在FG上取一点E使BE=BF，连接CE，

∵∠BFH=120°，
∴∠BFC=60°，
∵CF=2BF，BF=BE，
∴FC=FE，
∴△CFE为等边三角形，
∵B为EF的中点，
∴CB⊥EF，
∵F，B，G，E在同一条直线上，
∴CB⊥FG．

点评 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理、等边三角形的性质，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形．