Question

2．阅读理解：
如图①，如果四边形ABCD满足AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”．
将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状，再展开得到图③，其中CE，CF为折痕，∠BCE=∠ECF=∠FCD，点B′为点B的对应点，点D′为点D的对应点，连接EB′，FD′相交于点O．
简单应用：
（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是正方形；
（2）当图③中的∠BCD=120°时，∠AEB′=80°；
（3）当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有5个（包含四边形ABCD）．
拓展提升：
当图③中的∠BCD=90°时，连接AB′，请探求∠AB′E的度数，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和“完美筝形”的定义容易得出结论；
（2）先证出∠AEB′=∠BCB′，再求出∠BCE=∠ECF=40°，即可得出结果；
（3）由折叠的性质得出BE=B′E，BC=B′C，∠B=∠CB′E=90°，CD=CD′，FD=FD′，∠D=∠CD′F=90°，即可得出四边形EBCB′、四边形FDCD′是“完美筝形”；
由题意得出∠OD′E=∠OB′F=90°，CD′=CB′，由菱形的性质得出AE=AF，CE=CF，再证明△OED′≌△OFB′，得出OD′=OB′，OE=OF，证出∠AEB′=∠AFD′=90°，即可得出四边形CD′OB′、四边形AEOF是“完美筝形”；即可得出结论；
当图③中的∠BCD=90°时，四边形ABCD是正方形，证明A、E、B′、F四点共圆，得出$\widehat{AE}=\widehat{AF}$，由圆周角定理即可得出∠AB′E的度数．

解答 解：（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C≠90°，∠B=∠D≠90°，
∴AB≠AD，BC≠CD，
∴平行四边形不一定为“完美筝形”；
②∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，
∴AB≠AD，BC≠CD，
∴矩形不一定为“完美筝形”；
③∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C≠90°，∠B=∠D≠90°，
∴菱形不一定为“完美筝形”；
④∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，
∴正方形一定为“完美筝形”；
∴在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是正方形；
故答案为：正方形；
（2）根据题意得：∠B′=∠B=90°，
∴在四边形CBEB′中，∠BEB′+∠BCB′=180°，
∵∠AEB′+∠BEB′=180°，
∴∠AEB′=∠BCB′，
∵∠BCE=∠ECF=∠FCD，∠BCD=120°，
∴∠BCE=∠ECF=40°，
∴∠AEB′=∠BCB′=40°+40°=80°；
故答案为：80；
（3）当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有5个；理由如下；
根据题意得：BE=B′E，BC=B′C，∠B=∠CB′E=90°，CD=CD′，FD=FD′，∠D=∠CD′F=90°，
∴四边形EBCB′、四边形FDCD′是“完美筝形”；
∵四边形ABCD是“完美筝形”，
∴AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，
∴CD′=CB′，∠CD′O=∠CB′O=90°，
∴∠OD′E=∠OB′F=90°，
∵四边形AECF为菱形，
∴AE=AF，CE=CF，AE∥CF，AF∥CE，
∴D′E=B′F，∠AEB′=∠CB′E=90°，∠AFD′=∠CD′F=90°，
在△OED′和△OFB′中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OD′E=∠OB′F}&{\;}\\{∠EOD′=∠FOB′}&{\;}\\{D′E=B′F}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OED′≌△OFB′（AAS），
∴OD′=OB′，OE=OF，
∴四边形CD′OB′、四边形AEOF是“完美筝形”；
∴包含四边形ABCD，对应图③中的“完美筝形”有5个；
故答案为：5；
当图③中的∠BCD=90°时，如图所示：
四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∵∠EB′F=90°，
∴∠BAD+∠EB′F=180°，
∴A、E、B′、F四点共圆，
∵AE=AF，
∴$\widehat{AE}=\widehat{AF}$，
∴∠AB′E=∠AB′F=$\frac{1}{2}$∠EB′F=45°．

点评 本题是四边形综合题目，考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质、“完美筝形”的判定与性质、全等三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理等知识；本题难度较大，综合性强，熟练掌握“完美筝形”的定义，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．