Question

【题目】如图，将长方形ABCD沿AC对折，使AABC落在04EC的位置，且CE与AD相交于点F.

(1)求证:EF=DF；

(2)若AB=，BC=3，求折叠后的重叠部分(阴影部分)的面积.

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）

【解析】

（1）根据折叠的性质得到AE=AB，∠E=∠B=90°，易证Rt△AEF≌Rt△CDF，即可得到结论；

（2）根据（1）易得FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=3-x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程，解方程求出x，然后根据三角形的面积公式计算即可．

(1)证明:如图，∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使ΔABC落在ΔACE的位置，

∴AE=AB，∠E=∠B=90°，

又∵四边形ABCD为矩形，

∴AB=CD，

∴AE=DC，

而∠AFE=∠DFC，

∴RtΔAEF≌RtΔCDF，

∴EF=DF

(2)∵四边形ABCD为矩形，

∴AD=BC=3，CD=AB=，

∵RtΔAEF≌RtΔCDF，

∴FC=FA，

设FA=x，则FC=x，FD=3-x，

在RtΔCDF中，，即，解得x=2，

∴折叠后的重叠部分的面积=AF·CD=×2×=.