Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴分别交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点E（﹣1，4），对称轴交x轴于点F．

（1）请直接写出这条抛物线和直线AE、直线AC的解析式；

（2）连接AC、AE、CE，判断△ACE的形状，并说明理由；

（3）如图2，点D是抛物线上一动点，它的横坐标为m，且﹣3＜m＜﹣1，过点D作DK⊥x轴于点K，DK分别交线段AE、AC于点G、H．在点D的运动过程中，

①DG、GH、HK这三条线段能否相等？若相等，请求出点D的坐标；若不相等，请说明理由；

②在①的条件下，判断CG与AE的数量关系，并直接写出结论．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝2x+6，y＝x+3；（2）直角三角形，见解析；（3）①相等，（﹣2，3）；②AE＝2CG

【解析】

（1）设顶点式，将A点坐标代入，再化为一般式，根据常数项等于3即可求出a的值，由此可得抛物线解析式，设直线AE和AC的解析式，再分别将A点、E点代入即可求出直线AE的解析式，将A点、C点代入即可求出直线AC解析式；

（2）分别求出AC2，CE2，AE2，利用勾股定理的逆定理即可判定；

（3）①设出点D、G、H的坐标，表示DG、HK、GH长度，先根据DG＝HK列出方程求得x值，再据此求得DG、HK、GH长度，即可得解；②分别求出CG和AE的长度，即可得出它们的数量关系．

解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）2+4＝ax2+2ax+a+4，

故a+4＝3，解得：a＝﹣1，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；

设直线AE的解析式为：，

将点A（﹣3，0）、E（﹣1，4）的坐标代入一次函数表达式得

，

解得：，

故直线AE的表达式为：y＝2x+6，

设直线AC的解析式为：，
将点A（﹣3，0）、C（0，3）的坐标代入一次函数表达式得

，

解得：，

故直线AC的表达式为：y＝x+3；

（2）点A、C、E的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，3）、（﹣1，4），

则AC2＝=18，CE2＝=2，AE2＝=20，

故AC2+CE2＝AE2，则△ACE为直角三角形；

（3）①设点D、G、H的坐标分别为：（x，﹣x2﹣2x+3）、（x，2x+6）、（x，x+3），

DG＝﹣x2﹣2x+3﹣2x﹣6＝﹣x2﹣4x﹣3；HK＝x+3；GH＝2x+6﹣x﹣3＝x+3；

当DG＝HK时，﹣x2﹣4x﹣3＝x+3，解得：x＝﹣2或﹣3（舍去﹣3），故x＝﹣2，

当x＝﹣2时，DG＝HK＝GH＝1，

故DG、GH、HK这三条线段相等时，点D的坐标为：（﹣2，3）；

②由①的点G的坐标为：（﹣2，2）

CG＝＝；AE＝＝2，

故AE＝2CG．