【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴分别交于A(﹣3,0),B两点,与y轴交于点C,抛物线的顶点E(﹣1,4),对称轴交x轴于点F.
(1)请直接写出这条抛物线和直线AE、直线AC的解析式;
(2)连接AC、AE、CE,判断△ACE的形状,并说明理由;
(3)如图2,点D是抛物线上一动点,它的横坐标为m,且﹣3<m<﹣1,过点D作DK⊥x轴于点K,DK分别交线段AE、AC于点G、H.在点D的运动过程中,
①DG、GH、HK这三条线段能否相等?若相等,请求出点D的坐标;若不相等,请说明理由;
②在①的条件下,判断CG与AE的数量关系,并直接写出结论.
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;y=2x+6,y=x+3;(2)直角三角形,见解析;(3)①相等,(﹣2,3);②AE=2CG
【解析】
(1)设顶点式,将A点坐标代入,再化为一般式,根据常数项等于3即可求出a的值,由此可得抛物线解析式,设直线AE和AC的解析式,再分别将A点、E点代入即可求出直线AE的解析式,将A点、C点代入即可求出直线AC解析式;
(2)分别求出AC2,CE2,AE2,利用勾股定理的逆定理即可判定;
(3)①设出点D、G、H的坐标,表示DG、HK、GH长度,先根据DG=HK列出方程求得x值,再据此求得DG、HK、GH长度,即可得解;②分别求出CG和AE的长度,即可得出它们的数量关系.
解:(1)抛物线的表达式为:y=a(x+1)2+4=ax2+2ax+a+4,
故a+4=3,解得:a=﹣1,
故抛物线的表达式为:y=﹣x2﹣2x+3;
设直线AE的解析式为:,
将点A(﹣3,0)、E(﹣1,4)的坐标代入一次函数表达式得
,
解得:,
故直线AE的表达式为:y=2x+6,
设直线AC的解析式为:,
将点A(﹣3,0)、C(0,3)的坐标代入一次函数表达式得
,
解得:,
故直线AC的表达式为:y=x+3;
(2)点A、C、E的坐标分别为:(﹣3,0)、(0,3)、(﹣1,4),
则AC2==18,CE2==2,AE2==20,
故AC2+CE2=AE2,则△ACE为直角三角形;
(3)①设点D、G、H的坐标分别为:(x,﹣x2﹣2x+3)、(x,2x+6)、(x,x+3),
DG=﹣x2﹣2x+3﹣2x﹣6=﹣x2﹣4x﹣3;HK=x+3;GH=2x+6﹣x﹣3=x+3;
当DG=HK时,﹣x2﹣4x﹣3=x+3,解得:x=﹣2或﹣3(舍去﹣3),故x=﹣2,
当x=﹣2时,DG=HK=GH=1,
故DG、GH、HK这三条线段相等时,点D的坐标为:(﹣2,3);
②由①的点G的坐标为:(﹣2,2)
CG==;AE==2,
故AE=2CG.
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【题目】在每个小正方形的边长为1的网格中,等腰直角三角形与的顶点都在网格点上,点、分别为线段、上的动点,且.
(Ⅰ)如图①,当时,计算的值等于__;
(Ⅱ)当取得最小值时,请在如图②所示的网格中,用无刻度的直尺,画出线段和,并简要说明点和点的位置是如何找到的(不要求证明).
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【题目】小明骑自行车去上学途中,经过先上坡后下坡的一段路,在这段路上所骑行的路程(米)与时间(分钟)之间的函数关系如图所示.下列结论:①小明上学途中下坡路的长为1800米;②小明上学途中上坡速度为150米/分,下坡速度为200米/分;③如果小明放学后按原路返回,且往返过程中,上、下坡的速度都相同,则小明返回时经过这段路比上学时多用1分钟;④如果小明放学后按原路返回,返回所用时间与上学所用时间相等,且返回时下坡速度是上坡速度的1.5倍,则返回时上坡速度是160米/分其中正确的有( )
A.①④B.②③C.②③④D.②④
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【题目】已知:如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=AD=8cm,CD=10cm,点P从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,点Q从点D出发,沿DC方向匀速运动,速度为lcm/s.连接PQ,设运动时间为t(s)(0<t<8).解答下列问题:
(1)当t为何值时,PQ∥AD?
(2)设四边形APQD的面积为y(cm2),求y与t的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻t,使S四边形APQO:S四边形BCQP=17:27?若存在,求出t的值,并求此时PQ的长;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,一艘船由A港沿北偏东65°方向航行km至B港,然后再沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏东20°方向.
求:(1)∠C的度数;
(2)A,C两港之间的距离为多少km.
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【题目】为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离,某数学兴趣小组在公路l上的点A处,测得凉亭P在北偏东60°的方向上;从A处向正东方向行走200米,到达公路l上的点B处,再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上,如图所示.求凉亭P到公路l的距离.(结果保留整数,参考数据:≈1.414,≈1.732)
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【题目】如图,在中,,,是边上的动点(不与点重合),将沿所在直线翻折,得到,连接, 则下面结论错误的是( )
A.当时,
B.当时,∠
C.当 时,
D.长度的最小值是1
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【题目】在一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球,分别标有数字2,3,4.从袋子中随机取出一个小球,用小球上的数字作为十位数字,然后放回,再取出一个小球,用小球上的数字作为个位数字,这样组成一个两位数,请用列表法或画树状图的方法完成下列问题.
(1)按这种方法组成两位数45是_____事件,填(“不可能”、“随机”、“必然”)
(2)组成的两位数能被3整除的概率是多少?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象经过点A(﹣2,6),且与x轴相交于点B,与正比例函数y=3x的图象相交于点C,点C的横坐标为1.
(1)求k、b的值;
(2)若点D在y轴负半轴上,且满足S△COD=S△BOC,求点D的坐标.
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