Question

10．如图，AB为⊙O的直径，D为$\widehat{AB}$的中点，C为$\widehat{AD}$上一点，弦CD=$\sqrt{2}$，I为△ABC内心．
（1）求BC-AC的值；
（2）过I作IE⊥AB于E，设BE=m，AE=n，求m-n的值；
（3）在（2）的条件下，若m、n是关于x的一元二次方程x²-kx+2k-1=0的两根，求IE的长．

Answer 1

分析 （1）连接AD，并在BC上截取BF=AC，连接DF，由D为$\widehat{AB}$的中点，得到爱打不打，根据全等三角形的性质得到CD=DF，∠ADC=BDF，即∠CDF=∠ADB=90°，∴于是得到结论；
（2）作△ABC的内切圆，⊙I分别与AC，BC交于M，N，根据切线的性质得到CM=CN，AM=AE，BN=BE，于是得到结论；
（3）根据题意得M+N=k，MN=2k-1，由于（m+n）-4mn=（m-n）²，得到k²-8k+4=4，推出四边形CMIN的正方形，设IE=IM=CM=CN=x，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）连接AD，并在BC上截取BF=AC，连接DF，
∵D为$\widehat{AB}$的中点，
∴AD=BD，
在△ACD与△BFD中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠CAD=∠FBD}\\{AC=FB}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BFD，
∴CD=DF，∠ADC=BDF，
即∠CDF=∠ADB=90°，
∴CF=$\sqrt{2}$CD，=2，
∴BC-AC=BC-BF=CF=2；

（2）作△ABC的内切圆，⊙I分别与AC，BC交于M，N，则CM=CN，AM=AE，BN=BE，
∴m-n=BE-AE=BN-AM=（BC-CN）-（AC-CM），=BC-AC-CN+CM=BC-AC=2；
（3）根据题意得M+N=k，MN=2k-1，
∵（m+n）-4mn=（m-n）²，
即k²-8k+4=4，
解得：k=0或8，
当k=0时，x²-1=0，x=±1不符合题意，
当k=8时，x²-8x+15=0，解得：x=3或5，
∴m=5或5；
∵∠MCN=∠CMI=∠CNI=90°，IM=IN，
∴四边形CMIN的正方形，
∴设IE=IM=CM=CN=x，则AC=AM+CM=3+x，BC=BN+CN=5+x，
由勾股定理得（3+x）²+（5+x）²=64，解得x=$\sqrt{31}$-4，
∴IE=$\sqrt{31}$-4．

点评 本题考查了三角形的内切圆和内心，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的判定和性质，正确的周长辅助线是解题的关键．