Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1(a≠0)交x轴于A，B(1，0)两点，交y轴于点C，一次函数y＝x+3的图象交坐标轴于A，D两点，E为直线AD上一点，作EF⊥x轴，交抛物线于点F

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点F位于直线AD的下方，请问线段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E的坐标；若没有，请说明理由；

(3)在平面直角坐标系内存在点G，使得G，E，D，C为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标．

Answer 1

【答案】(1)抛物线的解析式为y＝x 2+x﹣1；(2)，(，)；(3)点G的坐标为(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，(2，2﹣1)，(﹣4，3)．

【解析】

（1）利用待定系数法确定函数关系式；

（2）由函数图象上点的坐标特征：可设点E的坐标为（m，m+3），点F的坐标为（m， m2+m﹣1），由此得到EF＝﹣m2+m+4，根据二次函数最值的求法解答即可；

（3）分三种情形①如图1中，当EG为菱形对角线时．②如图2、3中，当EC为菱形的对角线时，③如图4中，当ED为菱形的对角线时，分别求解即可．

(1)将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．

∴点A的坐标为(﹣3，0)．

设抛物线的解析式为y＝a(x﹣x 1)(x﹣x 2)，点A的坐标为(﹣3，0)，点B的坐标为(1，0)，

∴y＝a(x+3)(x﹣1)．

∵点C的坐标为(0，﹣1)，

∴﹣3a＝﹣1，得a＝，

∴抛物线的解析式为y＝x 2+x﹣1；

(2)设点E的坐标为(m，m+3)，线段EF的长度为y，

则点F的坐标为(m，m 2+m﹣1)

∴y＝(m+3)﹣( m 2+m﹣1)＝﹣ m 2+m+4

即y＝-(m﹣) 2+，

此时点E的坐标为(，)；

(3)点G的坐标为(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，(2，2﹣1)，(﹣4，3)．

理由：①如图1，当四边形CGDE为菱形时．

∴EG垂直平分CD

∴点E的纵坐标y＝＝1，

将y＝1带入y＝x+3，得x＝﹣2．

∵EG关于y轴对称，

∴点G的坐标为(2，1)；

②如图2，当四边形CDEG为菱形时，以点D为圆心，DC的长为半径作圆，交AD于点E，可得DC＝DE，构造菱形CDEG

设点E的坐标为(n，n+3)，

点D的坐标为(0，3)

∴DE＝＝

∵DE＝DC＝4，

∴＝4，解得n1＝﹣2，n2＝2．

∴点E的坐标为(﹣2，﹣2+3)或(2，2+3)

将点E向下平移4个单位长度可得点G，

点G的坐标为(﹣2，﹣2﹣1)(如图2)或(2，2﹣1)(如图3)

③如图4，“四边形CDGE为菱形时，以点C为圆心，以CD的长为半径作圆，交直线AD于点E，

设点E的坐标为(k，k+3)，点C的坐标为(0，﹣1)．

∴EC＝＝．

∵EC＝CD＝4，

∴2k2+8k+16＝16，

解得k1＝0(舍去)，k2＝﹣4．

∴点E的坐标为(﹣4，﹣1)

将点E上移1个单位长度得点G．

∴点G的坐标为(﹣4，3)．

综上所述，点G的坐标为(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，(2，2﹣1)，(﹣4，3)．