Question

某公司研制出一种新型科技产品，每件产品的成本为2400元．在该产品的试销期间，为促销，公司决定：商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元；且商家一次性购买该产品不能超过60件．
（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？
（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元．在公司规定范围内，商家购买多少件时，公司可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）某商家一次购买这种产品a件，以每件3200元的价格全部售出，共获利24750元（不计其它成本），请求出产品件数a的值．

Answer 1

分析：（1）根据一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，得出3000-10（x-10）=2600求出即可；
（2）分别根据当0＜x≤10时，当10＜x≤50时，当50＜x≤60时分别求出最值即可；
（3）根据x不同的取值范围得出a的值即可．

解答：解：（1）设商家一次购买该产品x件时，销售单价恰好为2600元．
3000-10（x-10）=2600，
解得：x=50；

（2）当0＜x≤10时，y=（3000-2400）x=600x，
当x=10时，y_最大=600×10=6000（元）                  
当10＜x≤50时，
y=[3000-10（x-10）-2400]x
=-10x²+700x
=-10（x-35）²+12250，
当x=35时，y_最大=12250（元），
当50＜x≤60时，y=（2600-2400）x=200x，
当x=60时，y_最大=200×60=12000（元）                      
综上所述，当商家购买35件时，公司可获得最大利润，最大利润是12250元．

（3）由题意：当0＜a≤10时和当50＜a≤60时，
所求件数都不为整数，所以10＜a≤50，
列方程得：3200a-[3000-10（a-10）]a=24750，
化简，得：a²+10a-2475=0，
解得：a₁=45，a₂=-55（不合题意，舍去），
即此时产品件数a的值是45件．

点评：此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值问题，根据已知建立函数关系式，借助二次函数解决实际问题是解题关键．