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(2013•襄阳)如图1,点A是线段BC上一点,△ABD和△ACE都是等边三角形.
(1)连结BE,CD,求证:BE=CD;
(2)如图2,将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′.
①当旋转角为
60
60
度时,边AD′落在AE上;
②在①的条件下,延长DD’交CE于点P,连接BD′,CD′.当线段AB、AC满足什么数量关系时,△BDD′与△CPD′全等?并给予证明.
分析:(1)根据等边三角形的性质可得AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠CAE=60°,然后求出∠BAE=∠DAC,再利用“边角边”证明△BAE和△DAC全等,根据全等三角形对应边相等即可得证;
(2)①求出∠DAE,即可得到旋转角度数;
②当AC=2AB时,△BDD′与△CPD′全等.根据旋转的性质可得AB=BD=DD′=AD′,然后得到四边形ABDD′是菱形,根据菱形的对角线平分一组对角可得∠ABD′=∠DBD′=30°,菱形的对边平行可得DP∥BC,根据等边三角形的性质求出AC=AE,∠ACE=60°,然后根据等腰三角形三线合一的性质求出∠PCD′=∠ACD′=30°,从而得到∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PD′C=30°,然后利用“角边角”证明△BDD′与△CPD′全等.
解答:(1)证明:∵△ABD和△ACE都是等边三角形.
∴AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠CAE=60°,
∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE,
即∠BAE=∠DAC,
在△BAE和△DAC中,
AB=AD
∠BAE=∠DAC
AE=AC

∴△BAE≌△DAC(SAS),
∴BE=CD;

(2)解:①∵∠BAD=∠CAE=60°,
∴∠DAE=180°-60°×2=60°,
∵边AD′落在AE上,
∴旋转角=∠DAE=60°;
②当AC=2AB时,△BDD′与△CPD′全等.
理由如下:由旋转可知,AB′与AD重合,
∴AB=BD=DD′=AD′,
∴四边形ABDD′是菱形,
∴∠ABD′=∠DBD′=
1
2
∠ABD=
1
2
×60°=30°,DP∥BC,
∵△ACE是等边三角形,
∴AC=AE,∠ACE=60°,
∵AC=2AB,
∴AE=2AD′,
∴∠PCD′=∠ACD′=
1
2
∠ACE=
1
2
×60°=30°,
又∵DP∥BC,
∴∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PCD′=∠PD′C=30°,
在△BDD′与△CPD′中,
∠DBD′=∠PCD′
BD′=CD′
∠BD′D=∠PD′C

∴△BDD′≌△CPD′(ASA).
故答案为:60.
点评:本题考查了全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,以及旋转的性质,综合性较强,但难度不大,熟练掌握等边三角形的性质与全等三角形的判定时提到过.
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0.2
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①当t为
2
2
秒时,△PAD的周长最小?当t为
4或4-
6
或4+
6
4或4-
6
或4+
6
秒时,△PAD是以AD为腰的等腰三角形?(结果保留根号)
②点P在运动过程中,是否存在一点P,使△PAD是以AD为斜边的直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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