【题目】如图,△ABC是圆内接等腰三角形,其中AB=AC,点P在上运动(点P与点A在弦BC的两侧),连结PA,PB,PC,设∠BAC=α,=y,小明为探究y随α的变化情况,经历了如下过程
(1)若点P在弧BC的中点处,α=60°时,y的值是______.
(2)小明探究α变化获得了一部分数据,请你填写表格中空缺的数据.在如图2平面直角坐标系中以表中各组对应值为点的坐标进行描点,并画出函数图象:
α | … | 30° | 60° | 90° | 120° | 150° | 170° | … |
y | .. | 0.52 | 1.73 | 1.93 | 1.99 | … |
(3)从图象可知,y随着α的变化情况是______;y的取值范围是______.
【答案】(1)1;(2)图象见解析;(3)随增大而增大,.
【解析】
(1)连OB,OC,由△ABC是圆内接等腰三角形及α=60°可知△ABC是⊙O的内接正三角形,由点P是弧BC的中点,根据垂径定理的推论得到AP为⊙O的直径,易得△OBP和△OPC都是等边三角形,于是得到结论;
(2)当α=60°时,由(1)可知y=1;当α=90°时,使三角形ACP绕A点旋转使得AC与AB重合;求出P、B、P’共线即可得出答案;
(3)观察图像可知y随着α增大而增大,并可看出的取值范围.
解:(1) 解:(1)连OB,OC,如图
∵△ABC是圆内接等腰三角形,α=60°,
∴△ABC是⊙O的内接正三角形,
∵点P是弧BC的中点,△ABC是⊙O的内接正三角形,
∴AP为⊙O的直径,
∴∠BPO=∠ACB,∠APC=∠ABC,
∵△ABC是⊙O的内接正三角形,
∴∠ACB=∠ABC=60°,
∴∠BPO=∠APC=60°,
∴△OBP和△OPC都是等边三角形,
∴PB=PC=OP=OA,
∴PB+PC=PA,
则.
(2) 当α=60°时,由(1)可知y=1;
当α=90°时
使三角形ACP绕A点旋转使得AC与AB重合,如图
∵∠4=∠5,
∵∠3+∠4=90°,
∴∠3+∠5=90°,
又∵∠1+∠2=180°,
∴P、B、P’共线,
∵△APP’为直角三角形且AP=AP’,
∴=== ≈1.41
... | 30° | 60° | 90° | 120° | 150° | 170° | ... | |
... | 0.52 | 1 | 1.41 | 1.73 | 1.93 | 1.99 | ... |
(3)由图象可知:随增大而增大,的取值范围是:.
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【题目】如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.
(1)观察猜想
图1中,线段PM与PN的数量关系是 ,位置关系是 ;
(2)探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断△PMN的形状,并说明理由;
(3)拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最大值.
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【题目】矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,点B的坐标为(3,4),D是OA的中点,点E在AB上,当△CDE的周长最小时,点E的坐标为_____.
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【题目】在正方形ABCD中,AB=8,点P在边CD上,tan∠PBC=,点Q是在射线BP上的一个动点,过点Q作AB的平行线交射线AD于点M,点R在射线AD上,使RQ始终与直线BP垂直.
(1)如图1,当点R与点D重合时,求PQ的长;
(2)如图2,试探索: 的比值是否随点Q的运动而发生变化?若有变化,请说明你的理由;若没有变化,请求出它的比值;
(3)如图3,若点Q在线段BP上,设PQ=x,RM=y,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域.
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【题目】y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列4个代数式a+2b+c,2a+b+c,3a+2b+c,-,其中值一定大于1的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
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【题目】如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上一点,于点Q,过点B作半圆O的切线,交OQ的延长线于点P,PA交半圆O于R,则下列等式中正确的是( )
A. B. C. D.
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【题目】“绿水青山就是金山银山”,为保护生态环境,A,B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱,每村参加清理人数及总开支如下表:
村庄 | 清理养鱼网箱人数/人 | 清理捕鱼网箱人数/人 | 总支出/元 |
A | 15 | 9 | 57000 |
B | 10 | 16 | 68000 |
(1)若两村清理同类渔具的人均支出费用一样,求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元;
(2)在人均支出费用不变的情况下,为节约开支,两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱,要使总支出不超过102000元,且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数,则有哪几种分配清理人员方案?
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【题目】点M为二次函数y=﹣x2+2bx+1+4b﹣b2图象的顶点,直线y=mx+5分别交x轴正半轴,y轴于点A,B.
(1)判断顶点M是否恒在某条直线上?若是,求出该直线解析式;若不是,说明理由.
(2)若二次函数图象也经过点A,B,且mx+5>﹣x2+2bx+2+4b﹣b2,借助图象,求出x的取值范围.
(3)点A坐标为(5,0),点M在△AOB内时,若点C(,y1),D(,y2)都在二次函数图象上,试比较y1与y2的大小.
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【题目】荆州古城是闻名遐迩的历史文化名城,“五一”期间相关部门对到荆州观光游客的出行方式进行了随机抽样调查,整理后绘制了两幅统计图(尚不完整).根据图中信息,下列结论错误的是( )
A. 本次抽样调查的样本容量是5000
B. 扇形图中的m为10%
C. 样本中选择公共交通出行的有2500人
D. 若“五一”期间到荆州观光的游客有50万人,则选择自驾方式出行的有25万人
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