分析 (1)①根据等腰直角三角形的性质得到∠B=45°,根据角平分线的定义得到∠GDE=22.5°,根据同角的余角相等得到答案;
②证明△CED≌△GED和△CGH≌△DFH,根据全等三角形的性质证明结论;
(2)根据AC=3AB,结合②的结论,得到答案.
解答 解:(1)①∵∠A=90°,$\frac{AC}{AB}=1$,
∴∠B=45°,
∵DG∥BA,∴∠GDC=∠B=45°,
∵∠EDC=$\frac{1}{2}$∠B=22.5°,∴∠GDE=22.5°,
∵∠DHF=∠DEC=90°,
∴∠ECF=22.5;
②证明如下:
∵DG∥AB,∠EDC=$\frac{1}{2}$∠B,
∴∠EDC=∠GDE,又∵CE⊥DE,
∴∠CED=∠GED=90°,
在△CED和△GED中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠GDE=∠CDE}\\{∠DEG=∠DEC}\\{DE=DE}\end{array}\right.$,
∴△CED≌△GED,
∴CE=GE,即$CE=\frac{1}{2}CG$,
∵DG∥AB,∠A=90°,AB=AC,
∴∠CHG=∠DHF=90°,CH=DH.
又∵∠GCH=∠FDH,
∴△CGH≌△DFH,
∴CG=FD.
∴$CE=\frac{1}{2}FD$;
(2)作DG∥BA,交AC于H,交CE延长线于点G,
同(1)可证$CE=\frac{1}{2}CG$.
∵DG∥AB,
∴∠DHF=∠CHG=90°,又∵∠GCH=∠FDH,
∴△CGH∽△DFH,
∴$\frac{CG}{FD}=\frac{CH}{DH}$
∵DG∥AB,
∴△CHD∽△CAB,
∴$\frac{CH}{DH}=\frac{AC}{AB}=3$,
∴$\frac{CG}{FD}=3$,∴$\frac{2CE}{FD}$=3,即$\frac{CE}{FD}=\frac{3}{2}$.
点评 本题考查的是相似三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行线的性质,正确作出辅助线、灵活运用相关定理和性质是解题的关键.
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