Question

在平面之间坐标系中，一次函数y=--

1

2

x+2的图象与x轴y轴分别相交于A，B两点，在第一象限内是否存在点P，使得以点P，O，B为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请写出所以符合条件的点P的坐标．

Answer 1

分析：首先求得A、B的坐标，然后分O，B，P分别是直角顶点三种情况讨论，每种情况再分那条边与OB是对应边两种情况进行讨论，即可求解．

解答：解：在y=-

1

2

x+2中，令x=0，解得：y=2，则B的坐标是（0，2）；
在y=--

1

2

x+2中令y=0，解得：x=4，则A的坐标是（4，0）．
当O是直角顶点时，P一定在x轴上，与△AOB重合，不符合题意；
当B是直角顶点时，当△OPB的边OB与△AOB的边BO是对应边时，即△AOB∽△PBO时，P的坐标是（4，2）；
当△AOB∽△OBP时，

OA

OB

=

OB

BP

，即

4

2

=

2

BP

，解得：BP=1，则P的坐标是（1，2）；
当P是直角顶点，当△AOB∽△OPB时，OP是直角△AOB斜边AB上的高，如图1，
则AB=

OA2+OB2

=

22+42

=2

5

，
OB²=PB•AB，则BP=

OB2

AB

=

4

2 5

=

2 5

5

，
∴AP=AB-BP=2

5

-

2 5

5

=

8 5

5

，
∴OP=

AP•PB

=

4 5

5

，
过P作PC⊥x轴于点C．
则△PCO∽△AOB，
∴

OC

OB

=

PC

OA

=

OP

AB

=

4 5 5

2 5

=

2

5

，
∴OC=

2

5

OB=

4

5

，PC=

2

5

OA=

8

5

，则P的坐标是（

4

5

，

8

5

）；
当△AOB∽△BPO时，如图2，则

OP

OB

=

OB

AB

，即

OP

2

=

2

2 5

，解得：OP=

2 5

5

，
过P作PD⊥x轴，则△OPD∽△ABO，
∴

PD

OB

=

OD

OA

=

OP

AB

=

2 5 5

2 5

=

1

5

，
则PD=

1

5

OB=0.4，OD=

1

5

OA=0.8，点P的坐标是（2，1）．
故P的坐标是：（4，2）或（1，2）或（

4

5

，

8

5

）或（0.8，0.4）．

点评：本题考查了直角三角形相似的判定与性质，正确进行讨论是关键．