Question

将两个完全相同的三角板按如图方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．
（1）求∠CFE的度数；
（2）求证：AF+EF=DE；
（3）若AE=3，试求DE的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据直角三角形的性质就可以求出∠ABC的值，再由四边形的内角和定理就可以求出结论；
（2）连接BF，根据△BCF≌△BEF就可以得出CF=EF，由AC=DE就可以得出结论；
（3）由AE=3就可以得出BE=3，再根据勾股定理就可以求出结论．

解答：（1）解：∵∠ACB=∠DEB=90°，∠A=30°，
∴∠BEF=90°，∠ABC=60°，
∵∠ABC+∠ACB+∠CFE+∠BEF=360°
∴∠CFE=120°．
答：∠CFE的度数为120°；
（2）证明：连接BF，
∵△BED≌△BCA，
∴BE=BC，DE=AC．
在Rt△BCF和Rt△BEF中

BF=BF BC=BE

∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）
∴CF=EE．
∵AC=CF+AF，
∴DE=EF+AF．
（3）解：∵∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，
∴AB=2BC，BD=2BE
∴AB=2BE，
∴AE=BE．
∵AE=3，
∴BE=3，
∴BD=6，
在Rt△BED中，由勾股定理，得
DE=3

3

．
答：DE=3

3

．

点评：本题考查了直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，四边形内角和定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．