Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴正半轴上，边AB、OA（AB＞OA）的长分别是方程x2﹣11x+24=0的两个根，D是AB上的点，且满足．

（1）矩形OABC的面积是　 　，周长是　 　．

（2）求直线OD的解析式；

（3）点P是射线OD上的一个动点，当△PAD是等腰三角形时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）S=24，C=22；（2）y=-x；（3）P点的坐标为（， ）；（0，0）； ；

【解析】试题分析：（1）根据边AB、OA（AB＞OA）的长分别是方程x2-11x+24=0的两个根，即可得到AO=3，AB=8，进而得出矩形OABC的面积以及矩形OABC的周长；

（2）根据，AB=8，可得AD=3，再根据AO=3，进而得出D（-3，3），再根据待定系数法即可求得直线OD的解析式；

（3）根据△PAD是等腰三角形，分情况讨论，根据等腰直角三角形的性质，求得点P的坐标．

试题解析：（1）（1）∵x2-11x+24=0，

∴（x-3）（x-8）=0，

∴x1=3，x2=8，

∵AB、OA（AB＞OA）的长分别是方程x2-11x+24=0的两个根，

∴AO=3，AB=8，

∴矩形OABC的面积=3×8=24，矩形OABC的周长=2×（3+8）=22，

故答案为：24，22；

（2）∵，AB=8，

∴AD=3，

又∵AO=3，

∴D（-3，3），

设直线OD解析式为y=kx，则

3=-3k，即k=-1，

∴直线OD的解析式为y=-x；

（3）∵AD=AO=3，∠DAO=90°，

∴△AOD是等腰直角三角形，

∴∠ADO=45°，DO=3，

根据△PAD是等腰三角形，分4种情况讨论：

①如图所示，当AD=AP1=3时，点P1的坐标为（0，0）；

②如图所示，当DA=DP2=3时，过P2作x轴的垂线，垂足为E，则

OP2=3-3，△OEP2是等腰直角三角形，

∴P2E=OE==3-，

∴点P2的坐标为（-3+，3-）；

③如图所示，当AP3=DP3时，∠DAP3=∠ADO=45°，

∴△ADP3是等腰直角三角形，

∴DP3==

∴P3O=3-=，

过P3作x轴的垂线，垂足为F，则△OP3F是等腰直角三角形，

∴P3F=OF=，

∴点P3的坐标为（-， ）；

④如图所示，当DA=DP4=3时，P4O=3+3，

过P4作x轴的垂线，垂足为G，则△OP4G是等腰直角三角形，

∴P4G=OG=+3，

∴点P4的坐标为（-3-，3+）；

综上所述，P点的坐标为（， ）；（0，0）； ；