【题目】如图,正方形、等腰的顶点在对角线上(点与、不重合),与交于,延长线与交于点,连接.
(1)求证:.
(2)求证:
(3)若,求的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).
【解析】
(1)证出∠ABP=∠CBQ,由SAS证明△ABP≌△CBQ可得结论;
(2)根据正方形的性质和全等三角形的性质得到,∠APF=∠ABP,可证明△APF∽△ABP,再根据相似三角形的性质即可求解;
(3)根据全等三角形的性质得到∠BCQ=∠BAC=45°,可得∠PCQ=90°,根据三角函数和已知条件得到,由(2)可得,等量代换可得∠CBQ=∠CPQ即可求解.
(1)∵是正方形,
∴,,
∵是等腰三角形,
∴,,
∴,
∴,
∴;
(2)∵是正方形,
∴,,
∵是等腰三角形,
∴,
∵,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
;
(3)由(1)得,,,
∴,
由(2),
∴,
∵,
∴,
在中,
,
∴
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,点P,D分别是BC,AC边上的点,且∠APD=∠B.
(1)求证:△ABP∽△PCD;
(2)若AB=10,BC=12,当PD∥AB时,求BP的长.
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【题目】如图,已知抛物线经过,两点,与x轴的另一个交点为C,顶点为D,连结CD.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合),设点P的横坐标为t.
①当点P在直线BC的下方运动时,求的面积的最大值;
②该抛物线上是否存在点P,使得若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与轴交于点,与反比例函数在第一象限内的图象交于点,且点的横坐标为.过点作轴交反比例函数的图象于点,连接.
(1)求反比例函数的表达式.
(2)求的面积.
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【题目】如图,Rt△ABO的顶点A是双曲线与直线在第二象限的交点,AB⊥轴于B且S△ABO =.
(1)求这两个函数的解析式.
(2)求直线与双曲线的两个交点A,C和直线AC与x轴的交点D的坐标和△AOC的面积.
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【题目】如图,山坡上有一棵树AB,树底部B点到山脚C点的距离BC为米,山坡的坡角为30°.小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高,点C到测角仪EF的水平距离CF=1米,从E处测得树顶部A的仰角为45°,树底部B的仰角为20°,求树AB的高度.(参考数值:sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36)
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【题目】下面是小明同学设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程.
已知:如图1,和外的一点.
求作:过点作的切线.
作法:如图2,
①连接;
②作线段的垂直平分线,直线交于;
③以点为圆心,为半径作圆,交于点和;
④作直线和.
则,就是所求作的的切线.
根据上述作图过程,回答问题:
(1)用直尺和圆规,补全图2中的图形;
(2)完成下面的证明:
证明:连接,,
∵由作图可知是的直径,
∴(______)(填依据),
∴,,
又∵和是的半径,
∴,就是的切线(______)(填依据).
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【题目】如图,和都是等边三角形,且点A、C、E在同一直线上,与、分别交于点F、M,与交于点N.下列结论正确的是_______(写出所有正确结论的序号).
①;②;③;④
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