Question

16．如图1，点A（2，2），B（-4，-1）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，连接AB，分别交x、y轴于C、D两点；
（1）请你直接写出C、D两点的坐标：C（-2，0），D（0，1）；
（2）证明：AD=BC；
（3）如图2，若M、N是反比例函数第三象限上的两个动点，连接AM、AN，分别交x、y轴于G、H两点，若∠MAN=45°，试求△GOH的面积．

Answer 1

分析 （1）由A与B坐标，利用待定系数法确定出直线AB解析式，即可确定出C与D坐标；
（2）由A、B、C、D的坐标求出AF=EC，DF=EB，由SAS证明△AFD≌△CEB，得出对应边相等即可；
（3）连接OA、OH，作AK⊥x轴于K，证明∠AOK=45°，△AOK是直角三角形，由勾股定理得出OA²=8，证出∠OAH=∠AGO，∠AOG=∠HOA=135°，得出△AGO∽△HAO，证出对应边成比例，即可得出结果．

解答 （1）解：设直线AB解析式为y=mx+n，
把A与B坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=2}\\{-4m+n=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=1}\end{array}\right.$，即直线AB解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1，
令x=0，得到y=1；令y=0，得到x=-2，
∴C（-2，0），D（0，1）；
故答案为：-2，0；0，1；
（2）证明：作BE⊥x轴，AF⊥y轴，如图1所示，
则∠AFD=∠CEB=90°，
∵A（2，2），B（-4，-1），C（-2，0），D（0，1），
∴AF=2，DF=2-1=1，EC=4-2=22，EB=1，
∴AF=EC，DF=EB，
在△AFD和△CEB中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=EC}&{\;}\\{∠AFD=∠CEB}&{\;}\\{DF=EB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△CEB（SAS）
∴AD=BC；
（3）解：连接OA、OH，作AK⊥x轴于K，如图2所示：
∵A（2，2），AK⊥x轴，
∴∠AOK=45°，△AOK是直角三角形，
∴OA²=2²+2²=8，
∵∠AGO+∠GAO=∠AOK=45°，
又∵∠OAH+∠GAO=∠MAN=45°，
∴∠OAH=∠AGO，
∴∠AOG=∠HOA=135°，
∴△AGO∽△HAO，
∴$\frac{OG}{OA}$=$\frac{OA}{OH}$，
∴OA²=OG•OH=8，
则S_△GOH=$\frac{1}{2}$OG•OH=$\frac{1}{2}$×8=4．

点评 本题是反比例函数综合题目，考查了用待定系数法求直线的解析式、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．