Question

17．如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB=3，BC=4，设△PAB、△PBC、△PDA的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄，以下判断：
①PA+PB+PC+PD的最小值为10；
②若△PAB≌△PDC，则△PAD≌△PBC；
③若S₁=S₂，则S₃=S₄；
④若△PAB∽△PDA，则PA=2.4
其中正确的是①②③④．

Answer 1

分析 ①当点P是矩形ABCD两对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，根据勾股定理可得PA+PB+PC+PD的最小值，即可判断；
②根据全等三角形的性质可得PA=PC，PB=PD，那么P在线段AC、BD的垂直平分线上，即P是矩形ABCD两对角线的交点，易证△PAD≌△PBC，即可判断；
③易证S₁+S₃=S₂+S₄，所以若S₁=S₂，则S₃=S₄，即可判断；
④根据相似三角形的性质可得∠PAB=∠PDA，∠PAB+∠PAD=∠PDA+∠PAD=90°，利用三角形内角和定理得出∠APD=180°-（∠PDA+∠PAD）=90°，同理可得∠APB=90°，那么∠BPD=180°，即B、P、D三点共线，根据三角形面积公式可得PA=2.4，即可判断．

解答 解：①当点P是矩形ABCD两对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，根据勾股定理得，AC=BD=5，所以PA+PB+PC+PD的最小值为10，故①正确；
②若△PAB≌△PCD，则PA=PC，PB=PD，所以P在线段AC、BD的垂直平分线上，即P是矩形ABCD两对角线的交点，所以△PAD≌△PBC，故②正确；
③若S₁=S₂，易证S₁+S₃=S₂+S₄，则S₃=S₄，故③正确；
④若△PAB～△PDA，则∠PAB=∠PDA，∠PAB+∠PAD=∠PDA+∠PAD=90°，∠APD=180°-（∠PDA+∠PAD）=90°，同理可得∠APB=90°，那么∠BPD=180°，B、P、D三点共线，P是直角△BAD斜边上的高，根据面积公式可得PA=2.4，故④正确．
故答案为①②③④．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题，全等三角形、相似三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，线段垂直平分线的判定等知识，综合性较强，难度适中．