Question

（2008•菏泽）（1）探究新知：如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）结论应用：
①如图2，点M，N在反比例函数y=（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F，试证明：MN∥EF；
②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图3所示，请判断MN与EF是否平行．

Answer 1

【答案】分析：（1）分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足为G，H，根据CG∥DH，得到△ABC与△ABD同底，而两个三角形的面积相等，因而CG=DH，可以证明四边形CGHD为平行四边形，∴AB∥CD．
（2）判断MN与EF是否平行，根据（1）中的结论转化为证明S_△EFM=S_△EFN即可．
解答：解：（1）分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足为G，H，则∠CGA=∠DHB=90°，（1分）
∴CG∥DH
∵△ABC与△ABD的面积相等
∴CG=DH（2分）
∴四边形CGHD为平行四边形
∴AB∥CD．（4分）

（2）①证明：连接MF，NE，（6分）
设点M的坐标为（x₁，y₁），点N的坐标为（x₂，y₂），
∵点M，N在反比例函数（k＞0）的图象上，
∴x₁y₁=k，x₂y₂=k，
∵ME⊥y轴，NF⊥x轴，
∴OE=y₁，OF=x₂，
∴S_△EFM=x₁•y₁=k，（7分）
S_△EFN=x₂•y₂=k，（8分）
∴S_△EFM=S_△EFN；（9分）
∴由（1）中的结论可知：MN∥EF．

②由（1）中的结论可知：MN∥EF．（10分）
（若生使用其他方法，只要解法正确，皆给分．）

点评：本题考查了反比例函数与几何性质的综合应用，这是一个阅读理解的问题，正确解决（1）中的证明是解决本题的关键．