Question

11．如图，在正方形ABCD中，分别以AD、BC为边作Rt△ADE和Rt△BFC，延长DE、FB交于点P，延长FC、AE交于点Q，连接AP、QB，延长QB交PD于点N，交AP于点M，若PD=$\sqrt{5}$AM，PM=2BN，则tan∠DAQ的值为$\frac{8\sqrt{5}}{15}$．

Answer 1

分析 如图，连接AC、BD，作CG⊥BQ于G．AC与PD交于点J，AQ与PF交于点T．首先证明△PDB≌△QAC，再证明△ABP≌△BCQ，推出AP⊥MQ，△PBM，△BFQ都是等腰直角三角形，设AM=a，CG=GQ=b，则MQ=2a，由△ABM≌△BCG，推出AM=BG=a，BM=CG=b，得到2a-2b=a，推出b=$\frac{1}{2}$a，想办法求出AE、DE即可解决问题．

解答 解：如图，连接AC、BD，作CG⊥BQ于G．AC与PD交于点J，AQ与PF交于点T．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AC⊥BD，∠ABC=90°，
∵∠AEJ=∠DOJ=90°，∠AJE=∠DJO，
∴∠CAQ=∠PDB，
∵∠PET=∠QFT=90°，∠ETP=∠FTQ，
∴∠DPB=∠AQC，
在△PDB和△AQC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDB=∠CAQ}\\{∠DPB=∠CQA}\\{BD=AC}\end{array}\right.$，
∴△PDB≌△QAC，
∴PD=AQ，PB=CQ，∴∠DBP=∠ACQ，
∵∠ABD=∠ACB=45°，
∴∠ABP=∠BCQ，
在△ABP和△BCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABP=∠BCQ}\\{PB=CQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△BCQ，
∴∠PAB=∠CBQ，
∵∠ABM+∠CBQ=90°，
∴∠PAB+∠ABM=90°，
∴∠AMB=90°，
∵PD=$\sqrt{5}$AM，
∴MQ=2AM，
∵∠APB=∠BQC，∠DPB=∠AQC，
∴∠APN=∠AQM，
∴tan∠MPN=tan∠AQM=$\frac{AM}{MQ}$=$\frac{1}{2}$=$\frac{MN}{PM}$，
∵PM=2BN，PM=2MN，
∴PM=MN，
∴∠MPN=∠MBP=∠FBQ=∠FQB=45°，设AM=a，CG=GQ=b，则MQ=2a，
在△ABM和△BCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAB=∠CBG}\\{∠AMB=∠CGB}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△BCG，
∴AM=BG=a，BM=CG=b，
∴2a-2b=a，
∴b=$\frac{1}{2}$a，
∴AB=AD=$\sqrt{A{M}^{2}+B{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，AP=$\frac{3}{2}$a，AE=$\frac{AP}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$a，
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{5}}{2}a）^{2}-（\frac{3\sqrt{5}}{10}a）^{2}}$=$\frac{4}{5}$a，
∴tan∠DAQ=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{\frac{4}{5}a}{\frac{3\sqrt{5}}{10}a}$=$\frac{8\sqrt{5}}{15}$．
故答案为$\frac{8\sqrt{5}}{15}$．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，题目比较难，属于竞赛题目．