Question

9．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c过点A（-3，0），B（-2，3），C（0，3），其顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，求m的值；
（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值；
（4）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E作EF∥ND交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得答案；
（2）利用轴对称求最短路径的知识，找到B点关于直线x=1的对称点B′，连接B'D，B'D与直线x=1的交点即是点M的位置，继而求出m的值．
（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减去较小的纵坐标，可得PE的长，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（4）设出点E的，分情况讨论，①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，根据平行四边形的性质，可得关于x的方程，继而求出点E的坐标．

解答 解：（1）将A，B，C点的坐标代入解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{4a-2b+c=3}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-x²-2x+3
（2）配方，得y=-（x+1）²+4，顶点D的坐标为（-1，4）
作B点关于直线x=1的对称点B′，如图1，
则B′（4，3），由（1）得D（-1，4），
可求出直线DB′的函数关系式为y=-$\frac{1}{5}$x+$\frac{19}{5}$，
当M（1，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，
则m=-$\frac{1}{5}$×1+$\frac{19}{5}$=$\frac{18}{5}$．
（3）作PE⊥x轴交AC于E点，如图2，
AC的解析式为y=x+3，设P（m，-m²-2m+3），E（m，m+3），
PE=-m²-2m+3-（m+3）=-m²-3m
S_△APC=$\frac{1}{2}$PE•|x_A|=$\frac{1}{2}$（-m²-3m）×3=-$\frac{3}{2}$（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
当m=-$\frac{3}{2}$时，△APC的面积的最大值是$\frac{27}{8}$；
（4）由（1）、（2）得D（-1，4），N（-1，2）
点E在直线AC上，设E（x，x+3），
①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，-x²-2x+3），
∵EF=DN
∴-x²-2x+3-（x+3）=4-2=2，
解得，x=-2或x=-1（舍去），
则点E的坐标为：（-2，1）．
②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，-x²-2x+3），
∵EF=DN，
∴（x+3）-（-x²-2x+3）=2，
解得x=$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$或x=$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，
即点E的坐标为：（$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$）
综上可得满足条件的点E为E（-2，1）或：（$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）利用轴对称求最短路径；解（3）的关键是利用三角形的面积得出二次函数；解（4）的关键是平行四边形的性质得出关于x的方程，要分类讨论，以防遗漏．