Question

17．阅读材料，回答问题：

小明学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠A=30°，BC=a=1，AC=b=$\sqrt{3}$，AB=c=2，那么$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=2．
通过上网查阅资料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含
30°角的直角三角形中，存在着$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$．的关系．”
这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：
（1）如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c．
请判断此时“$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$．”的关系是否成立？
（2）完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：
如图3，在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．
过点C作CD⊥AB于D．
∵在Rt△ADC和Rt△BDC中，∠ADC=∠BDC=90°，
∴sinA=$\frac{CD}{b}$，sinB=$\frac{CD}{a}$．
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{ab}{CD}$，$\frac{b}{sinB}$=$\frac{ab}{CD}$．
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$．
同理，过点A作AH⊥BC于H，可证$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$．
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$．．
请将上面的过程补充完整．
（3）如图4，在△ABC中，如果∠B=60°，∠C=45°，AB=2，那么AC=$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的定义得到$\frac{a}{sinA}$=c，$\frac{b}{sinB}$=c，$\frac{c}{sinC}$=c，于是得到结论；
（2）过点C作CD⊥AB于D．根据三角函数的定义得到sinA=$\frac{CD}{b}$，sinB=$\frac{CD}{a}$，推出$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$．同理，过点A作AH⊥BC于H，可证$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，即可得到结论；
（3）把∠B=60°，∠C=45°，AB=c=2，代入$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$解方程得到b=$\sqrt{6}$，即可得到结论．

解答 解；（1）∵sinA=$\frac{a}{c}$，sinB=$\frac{b}{c}$，sinC=1
∴$\frac{a}{sinA}$=c，$\frac{b}{sinB}$=c，$\frac{c}{sinC}$=c，
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$；

（2）在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．
过点C作CD⊥AB于D．
∵在Rt△ADC和Rt△BDC中，∠ADC=∠BDC=90°，
∴sinA=$\frac{CD}{b}$，sinB=$\frac{CD}{a}$．
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{ab}{CD}$，$\frac{b}{sinB}$=$\frac{ab}{CD}$．
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$．
同理，过点A作AH⊥BC于H，可证$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$．
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$．．
故答案为：$\frac{CD}{b}$，$\frac{CD}{a}$，$\frac{ab}{CD}$，$\frac{ab}{CD}$；

（3）把∠B=60°，∠C=45°，AB=c=2，代入$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$得：
$\frac{b}{sin60°}=\frac{2}{sin45°}$，
∴$\frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，
解得：b=$\sqrt{6}$，
即AC=$\sqrt{6}$，
故答案为：$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了正弦定理的证明和应用，解直角三角形，从特殊到一般的认知规律，正确的理解题意是解题的关键．