Question

【题目】如图，点D是△ABC内部的一点，BD=CD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE=CF．求证：AB=AC．

Answer 1

【答案】证明见解析.

【解析】

欲证明AB=AC，只要证明∠ABC=∠ACB即可，根据“HL”证明Rt△BDE≌Rt△CDF，由全等三角形的性质可证∠EBD=∠FCD，再由等腰三角形的性质∠DBC=∠DCB，从而可证∠ABC=∠ACB.

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠BED=∠CFD=90°．

在Rt△BDE和Rt△CDF中，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），

∴∠EBD=∠FCD，

∵BD=CD，

∴∠DBC=∠DCB，

∴∠DBC+∠EBD=∠DCB+∠FCD，

即∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC．