Question

13．如图，已知抛物线经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．
（1）该抛物线解析式为y=-x²+2x+3；顶点坐标为（1，3）；
（2）将该抛物线向下平移3个单位长度，再向右移动n（n＞0）个单位长度使得抛物线的顶点在△ABC内部（不包括边界），试求n的取值范围；
（3）在y轴上是否存在点P，使得∠APO+∠ACO=∠ABC？若存在，求出CP的长度；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式，进而求出顶点坐标；
（2）由抛物线的顶点式，可得出平移后的抛物线解析式，再确定出直线BC的解析式，当y=1时，x=2，即可得出n的范围；
（3）分点P在y轴正半轴和负半轴两种情况：①判断出△COA～△CDP得出比例式即可得出结论；②借助①和轴对称即可得出结论．

解答 解：（1）设抛物线为y=ax²+bx+c（a≠0），
将A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
故抛物线解析式为：y=-x²+2x+3，
y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
故顶点坐标为（1，4）；

（2）由（1）得，y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
平移后的抛物线为：y=-（x-1-n）²+4-3=-（x-1-n）²+1，
∴平移后的抛物线顶点为（1+n，1），
设直线BC的解析式为：y=mx+n，
将B（3，0）、C（0，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3m+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
当y=1时，x=2，
∴1＜1+n＜2，
∴0＜n＜1，

（3）存在，
理由：①当P在y轴负半轴上时，如图，
过点P作AC的垂线，垂足为D，
∵∠OPA+∠OCA=∠PAD，
又∵∠OPA+∠OCA=∠CBA=45°，
∴∠PAD=∠CBA=45°，
∴AD=PD，
∵AO=1，CO=3，
∴AC=$\sqrt{10}$，
设AD=PD=x，则CD=AC+AD=x+$\sqrt{10}$，
又∵∠PDA=∠COA=90°，∠PCD=∠ACO，
∴△COA～△CDP，
∴$\frac{CO}{CD}$=$\frac{AO}{PD}$=$\frac{AC}{PC}$，
∴$\frac{3}{x+\sqrt{10}}$=$\frac{1}{x}$=$\frac{\sqrt{10}}{PC}$，
∴x=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，PC=$\sqrt{10}$x=5，
PO=PC-OC=5-3=2；                        
②当P₁在y轴正半轴上时，取OP₁=OP=2，如图，
则由对称知：∠OP₁A=∠OPA，P₁O=PO=2，
∴∠OP₁A+∠OCA=∠OPA+∠OCA=∠CBA═45°，
同理P₁也满足题目条件，∴P₁C=OC-OP₁=3-2=1，
综合以上得：PC=5或1．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，解（2）的关键是判断出平移后的抛物线的解析式，解（3）的关键是判断出△COA～△CDP，是一道中等难度的题目．