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    7．已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，CD=$\frac{1}{2}$BC，DE⊥CE，DE=CE，连接AE，点M是AE的中点．
    （1）如图1，若点D在BC边上，连接CM，当AB=4时，求CM的长；
    （2）如图2，若点D在△ABC的内部，连接BD，点N是BD中点，连接MN，NE，求证：MN⊥AE；
    （3）如图3，将图2中的△CDE绕点C逆时针旋转，使∠BCD=30°，连接BD，点N是BD中点，连接MN，探索$\frac{MN}{AC}$的值并直接写出结果．

    分析 （1）先证明△ACE是直角三角形，根据CM=$\frac{1}{2}$AE，求出AE即可解决问题．
    （2）如图2中，如图2中，延长EN至F使NF=NE，连接AF、BF，先证明△DNE≌△BNF，再证明△ABF≌△ACE，推出∠FAB=∠EAC，可得∠FAE=∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAC=90°，由此即可解决问题．
    （3）如图3中，延长DM到G使得MG=MD，连接AG、BG，延长AG、EC交于点F，先证明△ABG≌△CAE，得到BG=AE，设BC=2a，在RT△AEF中求出AE，根据中位线定理MN=$\frac{1}{2}$BG=$\frac{1}{2}$AE，由此即可解决问题．

    解答 解：（1）如图1中，连接AD．
    ∵△ABC是等腰直角三角形，
    ∴AB=AC=4，∠BAC=90°，
    ∴∠B=∠ACD=45°，BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
    ∵DC=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{2}$，
    ∵ED=EC，∠DEC=90°，
    ∴DE=EC=2，∠DCE=∠EDC=45°，
    ∴∠ACE=90°，
    在RT△ACE中，AE=$\sqrt{A{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
    ∵AM=ME，
    ∴CM=$\frac{1}{2}$AE=$\sqrt{5}$．
    （2）如图2中，延长EN至F使NF=NE，连接AF、BF．
    在△DNE和△BNF中，
    $\left\{\begin{array}{l}{ND=NB}\\{NE=NF}\\{∠DNE=BNF}\end{array}\right.$，
    ∴△DNE≌△BNF，
    ∴BF=DE=EC，∠FBN=∠EDN，
    ∵∠ACB=∠DCE=45°，
    ∴∠ACE=90°-∠DCB，
    ∴∠ABF=∠FBN-∠ABN
    =∠BDE-∠ABN
    =180°-∠DBC-∠DGB-∠ABN
    =180°-∠DBC-∠DCB-∠CDE-∠ABN
    =180°-（∠DBC+∠ABN）-∠DCB-45°
    =180°-45°-45°-∠DCB=90°-∠DCB=∠ACE，
    在△ABF和△ACE中，
    $\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABF=∠ACE}\\{BF=CE}\end{array}\right.$，
    ∴△ABF≌△ACE．
    ∴∠FAB=∠EAC，
    ∴∠FAE=∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAC=90°，
    ∵N为FE中点，M为AE中点，
    ∴AF∥NM，
    ∴MN⊥AE．
    （3）如图3中，延长DM到G使得MG=MD，连接AG、BG，延长AG、EC交于点F．
    ∵△AMG≌△EMD，
    ∴AG=DE=EC，∠GAM=∠DEM，
    ∴AG∥DE，
    ∴∠F=∠DEC=90°，
    ∵∠FAC+∠ACF=90°，∠BCD+∠ACF=90°，∠BCD=30°，
    ∴∠CAF=30°，∠BAG=∠BAC+∠CAF=120°，
    ∴∠BAG=∠ACE=120°，
    在△ABG和△CAE中，
    $\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAG=∠ACE}\\{AG=EC}\end{array}\right.$，
    ∴△ABG≌△CAE，
    ∴BG=AE，
    ∵BN=ND，DM=MG，
    ∴BG=AE=2MN，
    ∵∠FAC=∠BCD=30°，设BC=2a，则CD=a，DE=EC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，AC=$\sqrt{2}$a，CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，AF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，EF=$\sqrt{2}$a，
    ∴AE=$\sqrt{A{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{2}$a，
    ∴MN=$\frac{\sqrt{14}}{4}$a，
    ∴$\frac{MN}{AC}$=$\frac{\frac{\sqrt{14}}{4}a}{\sqrt{2}a}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．

    点评 本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形，学会添加辅助线的方法，属于中考压轴题．

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