Question

（2013•梅列区模拟）已知：∠DBC=∠ACB，BC=2AC，BD=BC，CD、AB交于点E．
（1）如图①，当∠ACB=90°时，求出线段DE、CE之间的数量关系；
（2）如图②，当∠ACB=120°时，求证：DE=3CE；
（3）如图③，在（2）的条件下，F是BC边的中点，连接DF交AB于点G，若CE=2，求DF的长．

Answer 1

分析：（1）由∠DBC=∠ACB=90°，利用同旁内角互补得到DB与AC平行，由平行得到两对内错角相等，进而确定出三角形DBE与三角形ACE相似，由相似得比例，根据BC=BD=2AC，求出相似比，求出DE与EC之比，即可确定出DE与CE的数量关系；
（2）过M作BM⊥DC，交DC于点M，由三角形DBC为顶角为120°的等腰三角形，得到DM=DC=

1

2

DC，∠D=∠DCB=30°，在直角三角形BDM中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到DB=2BM，即BC=2BM，由BC=2AC，得到BM=AC，再由一对直角相等，一对对顶角相等，利用AAS得到三角形BME与三角形ACE全等，利用全等三角形的对应边相等得到ME=CE=

1

2

MC=

1

4

DC，即可得证；
（3）延长CB，过D作DN⊥CN，过M作BM⊥DC，交DC于点M，由（2）的结论求出DE的长，进而求出DC的长，在直角三角形DCN中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出DN的长，在直角三角形BDN中，利用外角性质求出∠DBN=60°，求出∠BDN=30°，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到BC=BD=2BN，由F为BC中点，得到BF=FC=

1

2

BC，确定出NB=BF=FC，即NF=BC，在直角三角形BMC中，利用勾股定理及方程思想求出BC的长，即为NF的长，在直角三角形DFN中，利用勾股定理即可求出DF的长．

解答：解：（1）∵∠DBC=∠ACB=90°，
∴DB∥AC，
∴△BDE∽△ACE，
∴

DB

AC

=

DE

CE

，
∵BC=BD=2AC，
∴

DE

CE

=2，即DE=2CE；
（2）过M作BM⊥DC，交DC于点M，
∵∠ACB=∠BDC=120°，BC=BD，
∴∠D=∠DCB=30°，
∴DM=CM=

1

2

DC，∠ACE=120°-30°=90°，
∴∠BME=∠ACE=90°，
在Rt△BDM中，∠D=30°，
∴BM=

1

2

DB=

1

2

BC，
∵BC=2AC，即AC=

1

2

BC，
∴BM=AC，
在△BME和△ACE中，

∠MEB=∠CEA ∠BME=∠ACE=90° BM=AC

，
∴△BME≌△ACE（AAS），
∴ME=CE=

1

2

CM=

1

4

DC，即DC=4CE，
∵DC=DE+EC=4EC，
∴DE=3EC；
（3）延长CB，过D作DN⊥CN，过M作BM⊥DC，交DC于点M，
由（2）得：DE=3EC=6，即DC=DE+EC=6+2=8，即CM=4，
在Rt△DCN中，∠DCN=30°，
∴DN=

1

2

DC=4，
∵∠DBN=∠BDC+∠BCD=60°，
∴∠BDN=30°，
在Rt△BDN中，NB=

1

2

DB=

1

2

BC，
∵F为BC中点，
∴BF=

1

2

BC，
∴BN=BF=FC，
∴NF=NB+BF=CF+FB=BC，
在Rt△BCM中，设BM=x，则BC=2x，
根据勾股定理得：x²+4²=（2x）²，
解得：x=

4 3

3

，
∴NF=BC=

8 3

3

，
在Rt△DNF中，
根据勾股定理得：DF=

DN2+NF2

=

42+( 8 3 3 )2

=

16+ 64 3

=

4 21

3

．

点评：此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．