Question

1．已知抛物线y=$\frac{1}{6}$（x+2）（x-4）与x轴交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，M为抛物线的顶点，设动点N（-2，n），求MN+BN的值最小时n的值．

Answer 1

分析 由题意可知AN⊥x轴，作点B关于直线AN的对称点B′（-8，0），连接MB′由直线AN交于点N，此时MN+BN最小，求出直线MB′的解析式，即可求出点N坐标，解决问题．

解答 解：如图，∵抛物线y=$\frac{1}{6}$（x+2）（x-4）与x轴交于点A、B，
∴A（-2，0），B（4，0），
∵N（-2，n），
∴AN⊥x轴，作点B关于直线AN的对称点B′（-8，0），连接MB′由直线AN交于点N，此时MN+BN最小．
∵y=$\frac{1}{6}$（x+2）（x-4）=$\frac{1}{6}$（x-1）²-$\frac{3}{2}$，
∴顶点M（1，-$\frac{3}{2}$），
设直线MB′的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{-8k+b=0}\\{k+b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{6}}\\{b=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线MB′的解析式为y=-$\frac{1}{6}$x-$\frac{4}{3}$，当x=-2时，y=-1，
∴N（-2，-1），
∴MN+BN的值最小时n的值为-1．

点评 本题考查抛物线与x轴交点、轴对称-最短问题、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用对称最短问题，属于中考常考题型．