Question

20．如图，已知Rt△ABC，∠BCA=90°，以AB边上一点O为圆心，以OB为半径作⊙O交BC于点E；交AB于点F，弧$\widehat{EF}$的中点D在AC上，
（1）证明：AC与⊙O相切；
（2）若CE=1，CD=2，求⊙O的半径；
（3）若$\frac{BE}{BF}$=$\frac{3}{5}$，求$\frac{BC}{DO}$的值．
（4）延长FD交BC的延长线于H点，若DH=6，BF=10，求$\frac{BE}{DE}$的值．
（5）过点D作DG垂直平分OF，G为垂足，作直径DK，连接KE，若EC=2，求△EBK的面积．

Answer 1

分析 （1）先用圆周角定理得到，∠AOD=2∠ABD进而得出，∠ABC=∠AOD即可得出，∠ODC=90°即可；
（2）先判断出四边形CDHE是矩形，再用勾股定理列出方程，求解即可；
（3）先设出BE=3x，则BF=5x，再用勾股定理得出求出BN，即可得出BE，即可；
（4）先判断出EF是三角形HEF的中位线得出DF，再用垂径定理得出OM=4，再用相似三角形和勾股定理即可；
（5）先根据垂直平分线判断出△ODF为等边三角形，进而得出∠BOE=60°，再求出BE即可．

解答 解：（1）如图1．连接BD，
∵弧$\widehat{EF}$的中点D在AC上，
∴$\widehat{DF}=\widehat{DE}$，
∴∠ABC=2∠ABD，
∵∠AOD=2∠ABD，
∴∠ABC=∠AOD，
∴OD∥BC，
∴∠ODC+∠BCA=180°，
∵∠BCA=90°，
∴∠ODC=90°，
∵点C在⊙O上，
∴AC与⊙O相切；
（2）如图2，连接OE．
过点E作EH⊥OD，
∵∠ACB=∠ODC=90°，
∴四边形CDHE是矩形，
∴HE=CD=2，DH=CE=1，
设⊙O的半径为R，
在Rt△OHE中，OH=R-1，HE=2．
∴R²-（R-1）²=2²，
∴R=$\frac{5}{2}$，
即⊙O的半径为$\frac{5}{2}$；
（3）如图3，连接OE，
过点O作ON⊥BC，BN=$\frac{1}{2}$BE，
同（2）的方法得，四边形CDON是矩形，
∴CN=OD，
∵$\frac{BE}{BF}$=$\frac{3}{5}$，
设BE=3x，则BF=5x，
∴OB=OD=$\frac{5}{2}$x，BN=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{3}{2}$x，
∴BC=CN+BN=$\frac{5}{2}$x+$\frac{3}{2}$x=4x，
∴$\frac{BC}{DO}$=$\frac{4x}{\frac{5}{2}x}$=$\frac{8}{5}$；
（4）如图4，由（1）知，OD∥BC，
∵点O为BF中点，
∴DE=DF=DH=6，
过点O作OM⊥DF，
∴MF=DM=$\frac{1}{2}$DF=3，
在Rt△OMD中，OD=OF=$\frac{1}{2}$BF=5，
根据勾股定理得，OM=4，
∵∠ODM+∠CDH=90°，∠H+∠CDH=90°，
∴∠ODM=∠H，∵∠OMD=∠DCH=90°，
∴△ODM∽△DHC，
∴$\frac{OD}{DH}=\frac{OM}{DC}=\frac{DM}{CH}$，
∴$\frac{5}{6}=\frac{4}{DC}=\frac{3}{CH}$，
∴DC=$\frac{24}{5}$，CH=$\frac{18}{5}$，
连接FE，
∵BF为⊙O的直径，
∴∠BEF=90°，
∵∠ACB=90°，
∴CD∥EF，
∴CE=CH=$\frac{18}{5}$，
∴OP=OD-DP=OD-CE=5-$\frac{18}{5}$=$\frac{7}{5}$，
∴BN=EN=OP=$\frac{7}{5}$，
∴BE=2BN=$\frac{14}{5}$，
∴$\frac{BE}{DE}$=$\frac{\frac{14}{5}}{6}$=$\frac{7}{10}$，
（5）如图5，∵DG垂直平分OF，
∴OD=DF，
∵OD=OF，
∴OD=OF=DF，
∴△ODF是等边三角形，
∴∠DOF=60°，
∵$\widehat{DF}=\widehat{DE}$，
∴∠DOE=∠DOF=60°，
∴∠BOE=60°，
∴∠BOK=60°，
∴∠BOE=∠BOK=60°，
∴EK⊥OB，
连接EF，同（4）的方法得出DP=CE=2，
∴OD=2DP=4，
∴OE=BE=BK=OK=4，
∴S_△EBK=S_△OBE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$OB²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×16=4$\sqrt{3}$

点评 此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质和判定，三角形的中位线，矩形的性质，解本题的关键是作出辅助线，是一道比较简单中考常考题．