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如图,在△ABC中,AC = BCAB = 8,CDAB,垂足为点DM为边AB上任意一点,点N在射线CB上(点N与点C不重合),且MC = MN.设AM = x

(1)如果CD = 3,AM = CM,求AM的长;
(2)如果CD = 3,点N在边BC上.设CN = y,求yx的函数解析式,并写出函数的定义域;
(3)如果∠ACB = 90°,NEAB,垂足为点E.当点M在边AB上移动时,试判断线段ME的长是否会改变?说明你的理由.
(1)(2)(3)线段ME的长不变,理由见解析
解:(1)∵ AC = BC,∴  ∠A =∠B
∵ AC = BCCDAB,∴ .……………………(1分)
由勾股定理,得 .………………(1分)
∵ AM = CM,∴  ∠A =∠ACM
即得  ∠ACM =∠B
∴  △ACM∽△ABC.…………………………………………………(1分)
∴ .∴ .即得 .………………(1分)
(2)过点MMFBC,垂足为点F
由 AM = x,得 BM =" 8" –x
∵ MFBCCDAB
∴∠MFB =∠ADC = 90°.
又∵  ∠A =∠B,∴  △MBF∽△ACD.……………………………(2分)
∴ .即得 
∴ 
∴ .…………………………(1分)
∵ MC = MNMFBC
∴ 
即得 .……………………………………………………(1分)
定义域为 .………………………………………………(1分)
(3)当点M在边AB上移动时,线段ME的长不变,ME = 4.…………(1分)
由点N在射线CB上,可知点N在边BC上或点N在边CB的延长线上.
(ⅰ)如果点N在边BC上,可知点M在线段AD上.
 AC = BC,∠ACB = 90°,∴  ∠A =∠B = 45°.
又∵ AC = BCCDABAB = 8,
∴ CD = BD = 4.
即得 
∵ MC = MN,∴  ∠MCN =∠MNC
∵  ∠MCN =∠MCD +∠BCD,∠MNC =∠B +∠BMN
∴  ∠MCD =∠NME
又∵ CDABNEAB,∴  ∠CDM =∠MEN = 90°.
∴  △MCD≌△MNE(A.A.S).
∴ ME = CD = 4.……………………………………………………(2分)
(ⅱ)如果点N在边CB的延长线上,可知点M在线段BD上,且点E在边AB的延长线上.
于是,由  ∠ABC =∠MNC +∠BMN = 45°,
BCD =∠MCD +∠MCN = 45°,
MCN =∠MNC
得  ∠MCD =∠BMN
再由 MC = MN,∠CDM =∠MEN = 90°,
得  △MCD≌△MNE(A.A.S).
∴ ME = CD = 4.……………………………………………………(2分)
∴  由(ⅰ)、(ⅱ)可知,当点M在边AB上移动时,线段ME的长不变,ME = 4.
(1)由勾股定理求得AC=5,然后利用相似三角形的相似比求出
(2)证明△MBF∽△ACD,可得
(3)注意点N在射线CB上,应该包括两种情况:点N在边BC上或点N在边CB的延长线上.
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