解:(1)∵
AC =
BC,∴ ∠
A =∠
B.
∵
AC =
BC,
CD⊥
AB,∴
.……………………(1分)
由勾股定理,得
.………………(1分)
∵
AM =
CM,∴ ∠
A =∠
ACM.
即得 ∠
ACM =∠
B.
∴ △
ACM∽△
ABC.…………………………………………………(1分)
∴
.∴
.即得
.………………(1分)
(2)过点
M作
MF⊥
BC,垂足为点
F.
由
AM =
x,得
BM =" 8" –
x.
∵
MF⊥
BC,
CD⊥
AB,
∴∠
MFB =∠
ADC = 90°.
又∵ ∠
A =∠
B,∴ △
MBF∽△
ACD.……………………………(2分)
∴
.即得
.
∴
.
∴
.…………………………(1分)
∵
MC =
MN,
MF⊥
BC,
∴
.
即得
.……………………………………………………(1分)
定义域为
.………………………………………………(1分)
(3)当点
M在边
AB上移动时,线段
ME的长不变,
ME = 4.…………(1分)
由点
N在射线
CB上,可知点
N在边
BC上或点
N在边
CB的延长线上.
(ⅰ)如果点
N在边
BC上,可知点
M在线段
AD上.
∵
AC =
BC,∠
ACB = 90°,∴ ∠
A =∠
B = 45°.
又∵
AC =
BC,
CD⊥
AB,
AB = 8,
∴
CD =
BD = 4.
即得
.
∵
MC =
MN,∴ ∠
MCN =∠
MNC.
∵ ∠
MCN =∠
MCD +∠
BCD,∠
MNC =∠
B +∠
BMN,
∴ ∠
MCD =∠
NME.
又∵
CD⊥
AB,
NE⊥
AB,∴ ∠
CDM =∠
MEN = 90°.
∴ △
MCD≌△
MNE(A.A.S).
∴
ME =
CD = 4.……………………………………………………(2分)
(ⅱ)如果点
N在边
CB的延长线上,可知点
M在线段
BD上,且点
E在边
AB的延长线上.
于是,由 ∠
ABC =∠
MNC +∠
BMN = 45°,
∠
BCD =∠
MCD +∠
MCN = 45°,
∠
MCN =∠
MNC,
得 ∠
MCD =∠
BMN.
再由
MC =
MN,∠
CDM =∠
MEN = 90°,
得 △
MCD≌△
MNE(A.A.S).
∴
ME =
CD = 4.……………………………………………………(2分)
∴ 由(ⅰ)、(ⅱ)可知,当点
M在边
AB上移动时,线段
ME的长不变,
ME = 4.
(1)由勾股定理求得AC=5,然后利用相似三角形的相似比求出
;
(2)证明△
MBF∽△
ACD,可得;
(3)注意点
N在射线
CB上,应该包括两种情况:点
N在边
BC上或点
N在边
CB的延长线上.