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(2013•铁岭)如图,在平面直角坐标中,直线l经过原点,且与y轴正半轴所夹的锐角为60°,过点A(0,1)作y轴的垂线l于点B,过点B1作作直线l的垂线交y轴于点A1,以A1B.BA为邻边作?ABA1C1;过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1,过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2,以A2B1.B1A1为邻边作?A1B1A2C2;…;按此作法继续下去,则Cn的坐标是
(-
3
×4n-1,4n
(-
3
×4n-1,4n
分析:先求出直线l的解析式为y=
3
3
x,设B点坐标为(x,1),根据直线l经过点B,求出B点坐标为(
3
,1),解Rt△A1AB,得出AA1=3,OA1=4,由平行四边形的性质得出A1C1=AB=
3
,则C1点的坐标为(-
3
,4),即(-
3
×40,41);根据直线l经过点B1,求出B1点坐标为(4
3
,4),解Rt△A2A1B1,得出A1A2=12,OA2=16,由平行四边形的性质得出A2C2=A1B1=4
3
,则C2点的坐标为(-4
3
,16),即(-
3
×41,42);同理,可得C3点的坐标为(-16
3
,64),即(-
3
×42,43);进而得出规律,求得Cn的坐标是(-
3
×4n-1,4n).
解答:解:∵直线l经过原点,且与y轴正半轴所夹的锐角为60°,
∴直线l的解析式为y=
3
3
x.
∵AB⊥y轴,点A(0,1),
∴可设B点坐标为(x,1),
将B(x,1)代入y=
3
3
x,
得1=
3
3
x,解得x=
3

∴B点坐标为(
3
,1),AB=
3

在Rt△A1AB中,∠AA1B=90°-60°=30°,∠A1AB=90°,
∴AA1=
3
AB=3,OA1=OA+AA1=1+3=4,
∵?ABA1C1中,A1C1=AB=
3

∴C1点的坐标为(-
3
,4),即(-
3
×40,41);
3
3
x=4,解得x=4
3

∴B1点坐标为(4
3
,4),A1B1=4
3

在Rt△A2A1B1中,∠A1A2B1=30°,∠A2A1B1=90°,
∴A1A2=
3
A1B1=12,OA2=OA1+A1A2=4+12=16,
∵?A1B1A2C2中,A2C2=A1B1=4
3

∴C2点的坐标为(-4
3
,16),即(-
3
×41,42);
同理,可得C3点的坐标为(-16
3
,64),即(-
3
×42,43);
以此类推,则Cn的坐标是(-
3
×4n-1,4n).
故答案为(-
3
×4n-1,4n).
点评:本题考查了平行四边形的性质,解直角三角形以及一次函数的综合应用,先分别求出C1、C2、C3点的坐标,从而发现规律是解题的关键.
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