Question

【题目】如图，抛物线y＝x2﹣ax+a﹣1与x轴交于A，B两点（点B在正半轴上），与y轴交于点C，OA＝3OB．点P在CA的延长线上，点Q在第二象限抛物线上，S△PBQ＝S△ABQ．

（1）求抛物线的解析式．

（2）求直线BQ的解析式．

（3）若∠PAQ＝∠APB，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2＋2x﹣3；（2）y＝﹣x＋1；（3）点P（﹣4，1）．

【解析】

（1）令y＝x2﹣ax＋a﹣1＝0，解得：x＝a﹣1或1，故点A、B的坐标分别为：（a﹣1，0）、（1，0），即可求解；

（2）S△PBQ＝S△ABQ，则△PBQ和△ABQ底边BQ边上的高相等，故直线PC∥BQ，即可求解；

（3）证明△PBQ≌△AQB（SAS），则∠PQB＝∠ABQ＝45°，则PQ∥y轴，即可求解．

解：（1）令y＝x2﹣ax＋a﹣1＝0，解得：x＝a﹣1或1，

故点A、B的坐标分别为：（a﹣1，0）、（1，0），

∵OA＝3OB，故1﹣a＝3，解得：a＝﹣2，

故抛物线的表达式为：y＝x2＋2x﹣3；

（2）对于y＝x2＋2x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，故点C（0，﹣3），

∵S△PBQ＝S△ABQ，

∴△PBQ和△ABQ底边BQ边上的高相等，

故直线PC∥BQ，

设直线AC的表达式为：y＝kx＋b，则，解得：，

故直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，

则设直线BQ的表达式为：y＝﹣x＋b，

将点B的坐标代入上式并解得：b＝1，

故直线BQ的表达式为：y＝﹣x＋1；

（3）设直线PB交AQ于点D，

由直线BQ的表达式知∠ABQ＝45°，

由（2）知PC∥BQ，

∴∠QAP＝∠AQB，∠BPA＝∠QBP，

而∠PAQ＝∠APB，

∴∠AQB＝∠PBQ，

∴DB＝DQ，

∵∠PAQ＝∠APB，

∴DP＝DA，

∴PA＝AQ，

而BQ＝BQ，

∴△PBQ≌△AQB（SAS），

∴∠PQB＝∠ABQ＝45°，

∴PQ∥y轴，

联立直线PQ和抛物线的表达式，得，解得或，

即x＝1或﹣4（舍去1），

故点Q的横坐标为﹣4，即为点P的横坐标，

而点P在直线AC：y＝﹣x﹣3，

故点P（﹣4，1）．