Question

如图，点O是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，∠AOB=140°，∠AOC=α．将△AOC绕直角顶点C按顺时针方向旋转90°得△BDC，连接OD．
（1）试说明△COD是等腰直角三角形；
（2）当α=95°时，试判断△BOD的形状，并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵△AOC绕直角顶点C按顺时针方向旋转90°得△BDC，
∴∠OCD=90°，CO=CD，
∴△COD是等腰直角三角形；

（2）△BOD为等腰三角形．
理由如下：
∵△COD是等腰直角三角形，
∴∠COD=∠CDO=45°，
而∠AOB=140°，α=95°，∠BDC=95°，
∴∠BOD=360°-140°-95°-45°=80°，
∠BDO=95°-45°=50°，
∴∠OBD=180°-80°-50°=50°．
∴△BOD为等腰三角形．
分析：（1）由△AOC绕直角顶点C按顺时针方向旋转90°得△BDC，根据旋转的性质得到∠OCD=90°，CO=CD，得到△COD是等腰直角三角形；
（2）由△COD是等腰直角三角形，得到∠COD=∠CDO=45°，而∠AOB=140°，α=95°，∠BDC=95°，根据周角和互余即可求出
∠BOD和∠BDO，再根据三角形内角和定理可得到∠OBD，那么就可判断△BOD的形状．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等腰直角三角形的判定、三角形的内角和定理以及三角形的分类．