Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB＝90，∠ABC＝45 ，点O是AB的中点，过A、C两点向经过点O的直线作垂线，垂足分别为E、F.

（1）如图①，求证：EF＝AE+CF.

（2）如图②，图③，线段EF、AE、CF之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）图②：EF＝AE+CF 图③：EF＝AE-CF，见解析

【解析】

（1）连接OC，运用AAS证△AOE≌△OCF即可；

（2）按（1）中的方法，连接OC，证明△AOE≌△OCF，即可得出结论

（1）连接OC，∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠AOC=90°，AO=CO，

∵∠AOE+∠COF=90°，∠EAO+∠AOE=90°，

∴∠EAO=∠COF，

又∵AO=CO，∠AEO=∠CFO，

∴△AOE≌△OCF（AAS）

∴OE＝CF，AE＝OF ∴EF＝AE+CF

（2）如图②，连接OC，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠AOC=90°，AO=CO，

∵∠AOE+∠COF=90°，∠EAO+∠AOE=90°，

∴∠EAO=∠COF，

又∵AO=CO，∠AEO=∠CFO，

∴△AOE≌△OCF（AAS）

∴OE＝CF，AE＝OF

∴EF＝AE+CF.