Question

如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：几何综合题

分析：（1）连接OD，可以证得DE⊥OD，然后证明OD∥AC即可证明DE⊥AC；
（2）利用△DAE∽△CDE，求出DE与CE的比值即可．

解答：（1）证明：连接OD，
∵D是BC的中点，OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴DE⊥AC；

（2）解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADC=∠DEC=∠AED=90°，
∴∠ADE=∠DCE
在△ADE和△CDE中，

∠AED=∠DEC ∠ADE=∠DCE

∴△CDE∽△DAE，
∴

DE

AE

=

CE

DE

，
设tan∠ACB=x，CE=a，则DE=ax，AC=3ax，AE=3ax-a，
∴

ax

3ax-a

=

a

ax

，整理得：x²-3x+1=0，
解得：x=

3± 5

2

，
∴tan∠ACB=

3+ 5

2

或

3- 5

2

．
（可以看出△ABC分别为锐角、钝角三角形两种情况）

点评：本题主要考查了切线的性质的综合应用，解答本题的关键在于如何利用三角形相似求出线段DE与CE的比值．