Question

18．如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）经过A、E两点，若平行四边形AOBC的面积为30，则k=10．

Answer 1

分析 设出点A的横坐标为x，根据点A在双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）上，表示出点A的纵坐标，从而表示出点A的坐标，再根据点B在x轴上设出点B的坐标为（a，0），然后过A作AD⊥OB于D，EF⊥OB于F，如图，根据平行四边形的性质对角线互相平分得到点E为AB的中点，又EF∥AD，得到EF为△ABD的中位线，可得EF为AD的一半，而AD为A的纵坐标，可得出EF的长，由OB-OD可得BD的长，根据F为BD的中点，得到FB的长，由OB-FB可得出OF的长，由E在第一象限，由EF和OF的长表示出E的坐标，代入反比例解析式中，得到a=3x，再由BO与AD的积为平行四边形的面积，表示出平行四边形的面积，根据平行四边形AOBC的面积为30，列出等式，将a=3x代入可得出k的值．

解答 解：如图，过A作AD⊥OB于D，EF⊥OB于F，设A（x，$\frac{k}{x}$），B（a，0），
∵四边形AOBC是平行四边形，
∴AE=EB，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{k}{2x}$，DF=$\frac{1}{2}$（a-x），OF=OD+DF=$\frac{a+x}{2}$，
∴E（$\frac{a+x}{2}$，$\frac{k}{2x}$），
∵E在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，
∴$\frac{a+x}{2}$•$\frac{k}{2x}$=k，
∴a=3x，
∵S_?AOBC=OB•AD=30，
∴a•$\frac{k}{x}$=3x•$\frac{k}{x}$=3k=30，
解得：k=10．
故答案为：10．

点评 此题考查了平行线的性质，三角形中位线定理，平行四边形的性质，平行四边形及三角形的面积公式，以及点坐标与线段的关系，是一道综合性较强的题，本题的突破点是作出辅助线，建立点坐标与线段长度的联系．